Schwere, Elektricität und Magnetismus:213

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 199
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Fingirte Ladungen einzelner Punkte.

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=-\varphi _{11}(\eta )+{\frac {g}{\eta }},\\\,\\&{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=-\chi _{11}(\eta ),\\\end{aligned}}$

und hieraus ergibt sich durch Subtraction

${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }},\,$

d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man

$\varphi _{12}(\eta )=g-g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -\,{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}},\,$

oder kürzer:

(26)	$\varphi _{12}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$

Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20) ein, so ist nun die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ vollständig bestimmt.

 Die Function $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta )\!$, welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile

(27)	$\varphi _{2}(\eta )=\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta )$

und setzen, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird:

$\varphi _{21}(\eta )=\chi _{21}(\zeta ),\quad \varphi _{22}(\eta )=\chi _{22}(\zeta ).$

Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :

(28)	${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{21}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{21}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=h,$

(29)	${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{22}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{22}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=\,{\frac {h}{\zeta }}.\,$

Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt man, dass $\chi _{21}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\chi _{22}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{12}(\eta )\!$ hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also $g\!$ mit $h\!$, $a\!$ mit $b\!$, $\eta \!$ mit $\zeta \!$. Sobald die Ausdrücke für $\chi _{21}(\zeta )\!$ und für $\chi _{22}(\zeta )\!$ gefunden sind, ist nur für $\zeta \!$ an die Stelle zu setzen $\,{\frac {c}{b}}\,-\,{\frac {a}{b}}\,\eta .$