Schwere, Elektricität und Magnetismus:209

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 195
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Fingirte Ladungen einzelner Punkte.

Die Function $V'\!$ kann in doppelter Weise aufgefasst werden, je nachdem man $\eta \!$ oder $\zeta \!$ als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also

(5)	$V'=\varphi (\eta )=\chi (\zeta ).\!$

Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:

(6)	$\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)\,-g=-\eta \,\lbrace \varphi (\eta )-g\rbrace ,$

(7)	$\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)\,-h=-\zeta \,\lbrace \chi (\zeta )-h\rbrace .$

Aus (5), (6) und (7) folgt

(8)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}+g-{\frac {h}{\zeta }}-h.$

Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu können, zerlegen wir jede der beiden Functionen $\varphi \!$ und $\chi \!$ in zwei Bestandtheile

(9)	$\varphi (\eta )=\varphi _{1}(\eta )+\varphi _{2}(\eta ),\!$

(10)	$\chi (\zeta )=\chi _{1}(\zeta )+\chi _{2}(\zeta ),\!$

und setzen fest, dass

$\varphi _{1}(\eta )=\chi _{1}(\zeta ),\!$

$\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta ),\!$

sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn

(11)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {g}{\eta }}\,-g={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$

(12)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{2}\left({\frac {1}{\eta }}\right)={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{2}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-\,{\frac {h}{\zeta }}-h$

gesetzt wird. Da $\varphi \!$ eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich

(13)	$\varphi _{1}(\eta )=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\eta +q_{k}}},\,$

und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten $p\!$ und $q\!$ zu bestimmen. Nach der über $\chi _{1}\!$ getroffenen Bestimmung ist

(14)	$\chi _{1}(\zeta )=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}\,\zeta \right)+q_{k}}}.\,$