Schwere, Elektricität und Magnetismus:208

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Vierter Abschnitt. §. 49.

§. 49. Fortsetzung: Fingirte Ladungen einzelner Punkte.

 Wir wollen zunächst den Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln nehmen. Es ist also $c-b\geq x\geq a\!$, $y=z=0\!$, und wir haben

(1)	$V'_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{x-x'_{k}}},\qquad V'_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''_{k}}{x''_{k}-x}},$ $V'_{3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'''_{k}}{x'''_{k}-x}},\qquad V'_{4}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{x-x''''_{k}}}.$

 Hier hat man besonders die Nenner zu beachten. Sie sind dadurch entstanden, dass man in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen $y=z=0\!$ setzt und die Quadratwurzeln auszieht. Aber es sind, dem Wesen der Potentialfunction entsprechend, immer die positiven Wurzeln zu nehmen. Will man also für eine der in (1) ausgedrückten Functionen die Variable $x\!$ über das vorgeschriebene Gebiet hinausgehen lassen, so hat man die Vorsicht zu beobachten, dass jedesmal nach Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes derjenige Nenner, welcher in diesem Punkte Null wird, wieder positiv gemacht, d. h. mit -1 multiplicirt werden muss. Lässt man dagegen die Variable $x\!$ nur auf solche Gebiete übergehen, die keinen Unstetigkeitspunkt der betreffenden Function enthalten, so bleibt der in (1) gegebene Ausdruck ohne weiteres gültig. Es darf also die Variable $x\!$ in $V'_{1}\!$ und in $V'_{4}\!$ auch grösser als $c-b\!$, in $V'_{2}\!$ und in $V'_{3}\!$ auch kleiner als $a\!$ gemacht werden, ohne dass die Ausdrücke (1) ihre Gültigkeit verlieren.

 Wir schreiben zur Abkürzung:

(2)	${\frac {r}{a}}=\eta ,\,$

(3)	${\frac {s}{b}}=\zeta .\,$

Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen den beiden Kugeln gilt die Gleichung

(4)	$a\,\eta +b\,\zeta =c,\,$

in welcher $\eta \!$ und $\zeta \!$ beide positiv und nicht kleiner als 1 sind.