Schwere, Elektricität und Magnetismus:207

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 193
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Zwei elektrisch geladene Kugeln.

  viertens: die Bilder des zweiten Kugelmittelpunktes im Innern der ersten Kugel.

 Wir legen den Anfangspunkt eines rechtwinkligen Coordinatensystems in den Mittelpunkt der ersten Kugel und die Axe der positiven $x\!$ in die Centrallinie. Für sämmtliche Unstetigkeitspunkte ist dann $y=0\!$ und $z=0\!$. Ihre erste Coordinate soll der Reihe nach bezeichnet werden für die erste Gruppe mit $x'_{0},\,x'_{1},\,x'_{2},\ldots$, für die zweite Gruppe mit $x''_{1},\,x''_{2},\,x''_{3},\ldots$, für die dritte Gruppe mit $x'''_{0},\,x'''_{1},\,x'''_{2},\ldots$, und für die vierte Gruppe mit $x''''_{1},\,x''''_{2},\,x''''_{3},\ldots$ Die Elektricitätsmenge, welche wir in irgend einem der Unstetigkeitspunkte anzunehmen haben, möge mit dem Buchstaben $m\!$ bezeichnet werden, dem wir dieselben Indices beifügen, wie der $x\!$-Coordinate des zugehörigen Punktes.

 Nach §. 45, Gleichung (1) ist dann zu setzen:

(6)	$V'=V'_{1}+V'_{2}+V'_{3}+V'_{4}:\,$

(7)

$V'_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''_{k}}{\sqrt {(x-x''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'''_{k}}{\sqrt {(x-x'''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{4}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{\sqrt {(x-x''''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.\,$

Die nächste Aufgabe besteht darin, für jeden Unstetigkeitspunkt die beiden constanten Grössen zu bestimmen, welche seine Lage und die in ihm concentrirt gedachte Elektricitätsmenge angeben. Diese Aufgabe soll in den beiden nächsten Paragraphen behandelt werden. Vorläufig beschränken wir uns auf eine Bemerkung, die nicht unwichtig ist. Aus der Art, wie die Function $V'\!$ in den Kugelmittelpunkten unstetig wird, und aus dem Abbildungsgesetz [Gleichungen (4) und (5)] geht nemlich hervor, dass sämmtliche Elektricitätsmengen der ersten und der zweiten Gruppe proportional der Grösse $g\!$, und dass sämmtliche Elektricitätsmengen der dritten und der vierten Gruppe proportional der Grösse $h\!$ sind. Es werden also in den Entwicklungen von $V'_{1}\!$ und $V'_{2}\!$ sämmtliche Glieder mit dem Factor $g\!$, und in den Entwicklungen von $V'_{3}\!$ und $V'_{4}\!$ sämmtliche Glieder mit dem Factor $h\!$ behaftet sein.