Schwere, Elektricität und Magnetismus:206

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 192
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Vierter Abschnitt. §48.

 Durch die Gleichung (4) wird die Function $V'\!$ in das Innere der ersten Kugel fortgesetzt, und zwar zunächst so, dass nur das erste Bild der zweiten Kugel als der Raum übrig bleibt, innerhalb dessen die Function noch nicht bekannt ist. Wendet man dann die Gleichung (5) an, so bleibt innerhalb der zweiten Kugel nur ihr zweites Bild als das Gebiet übrig, für welches man die Function noch nicht kennt. Bringt man so fortfahrend die Gleichungen (4) und (5) abwechselnd in Anwendung, so kann man in beiden Kugeln das Gebiet, innerhalb dessen die Function unbekannt bleibt, beliebig klein machen und kleiner als irgend eine angebbare Zahl.

 Es fragt sich nun, wo $V'=\infty \!$ wird. Da die Function im ganzen äusseren Raume endlich ist, so kann ein Unendlichwerden nur im Innern der Kugeln eintreten. Und zwar sieht man zunächst aus Gleichung (4), dass $V'_{r'}=\infty \!$ wird für $r'=0\!$, und aus Gleichung (5), dass $V'_{s'}=\infty \!$ für $s'=0\!$. Denn für $r'=0\!$ ist $r=\infty \!$ und $\lim r\,V'_{r}$ endlich, und für $s'=0\!$ ist $s=\infty \!$ und $\lim s\,V'_{s}$ endlich. Folglich ergibt sich

für $r'=0\qquad V'=\infty \,$ wie ${\frac {ag}{r'}},$

für $s'=0\qquad V'=\infty \,$ wie ${\frac {bh}{s'}}.$

Hieraus erkennt man , dass die Function $V'\!$ unendlich wird in beiden Kugelmittelpunkten. Nach Vorschrift der Gleichungen (4) und (5) wird sie dann aber ebenfalls unendlich in den sämmtlichen Bildpunkten sowohl des einen wie des anderen Kugelcentrums. Diese Bildpunkte liegen innerhalb der Kugeln zwischen beiden Mittelpunkten auf der Centrallinie, und ihre Anzahl ist für jede der beiden Kugeln unendlich gross. Die Function $V'\!$ kann also aufgefasst werden als Potentialfunction, herrührend von elektrischen Ladungen, die in den Kugelmittelpunkten und deren unendlich vielen Bildpunkten concentrirt sind.

 Wir wollen die Punkte, in welchen die Function $V'\!$ unendlich wird, in vier Gruppen abtheilen, nemlich

  erstens: den Mittelpunkt der ersten Kugel und seine Bilder im Innern der ersten Kugel;

  zweitens: die Bilder des ersten Kugelmittelpunktes im Innern der zweiten Kugel;

  drittens: den Mittelpunkt der zweiten Kugel und seine Bilder im Innern der zweiten Kugel;