Schwere, Elektricität und Magnetismus:198

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Vierter Abschnitt. §. 46.

ist. Führt man also eine Integration über die ganze Oberfläche des ersten Leiters aus, so erhält man die gesammte Elektricitätsmenge, welche auf dieser Oberfläche sich befindet. In derselben Weise hat man rücksichtlich aller übrigen Leiter zu verfahren und gelangt so zu den Gleichungen:

(9)

$m_{1}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1},$ $m_{2}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{2},$ $\cdots \cdots$ $m_{k}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{k}.$

 Die Integrationen sind der Reihe nach über die Oberfläche jedes einzelnen Leiters zu erstrecken.

§. 46. Fortsetzung: Lösung der Aufgabe.

 Wir wollen mit $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ die constanten Werthe bezeichnen, welche nach eingetretenem Gleichgewichtszustande die Potentialfunction $V\!$ im Innern und auf der Oberfläche der einzelnen Leiter besitzt. Die Grössen $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ stehen mit den Grössen $m_{1},m_{2},\ldots m_{k}$ in einem Zusammenhange, der jetzt näher untersucht werden soll. Zu dem Ende ist es zweckmässig, die Potentialfunction $V\!$ in folgender Weise in einzelne Bestandtheile zu zerlegen.

 Es sei $u_{i}\!$ eine Function von $x,\,y,\,z,$ die im ganzen unendlichen Raume der Gleichung von Laplace Genüge leistet:

(1)	${\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial z^{2}}}=0,$

die in der Oberfläche und im Innern des $i\!$ten Leiters den Werth 1, in der Oberfläche und im Innern aller übrigen Leiter den Werth 0 besitzt. Wir nehmen $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots k,\!$ und stellen so die $k\!$ Functionen $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots u_{k}$her. Dann ist die Differenz

$V-(a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\ldots +a_{k}\,u_{k})=w,$

eine Function, die in der Oberfläche und im Innern sämmtlicher Leiter den Werth Null hat, die überall ausserhalb der Isolatoren