Schwere, Elektricität und Magnetismus:199

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 185
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Lösung der Aufgabe.

der Gleichung von Laplace genügt und für einen Punkt im Innern eines Isolators in derselben Weise wie die Potentialfunction die Dichtigkeit der Elektricität kundgibt. Wir haben dann also

(2)	$V=a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\dotsb +a_{k}\,u_{k}+w,$

und hieraus

${\frac {\partial V}{\partial p}}\,=\,a_{1}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial p}}\,+\,a_{2}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial p}}\,+\dotsb +\,a_{k}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial p}}\,+\,{\frac {\partial w}{\partial p}}.$

Nehmen wir nun das Integral

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q},$

ausgedehnt über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters, und setzen zur Abkürzung

(3)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\mu _{q_{i}},$

(4)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial w}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\nu _{q},$

so gehen die Gleichungen (9) des vorigen Paragraphen in folgende über:

(5)

${\begin{alignedat}{2}m_{1}=\mu _{11}\,a_{1}+\mu _{12}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{1k}\,a_{k}+\nu _{1}&&,\\m_{2}=\mu _{21}\,a_{1}+\mu _{22}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{2k}\,a_{k}+\nu _{2}&&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &&,\\m_{k}=\mu _{k1}\,a_{1}+\mu _{k2}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{kk}\,a_{k}+\nu _{k}&&.\\\end{alignedat}}$

 Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist leicht zu erkennen. Wird ein Leiter durch einen unendlich dünnen Draht mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt, so ist in seiner Oberfläche und in seinem Innern die Potentialfunction gleich Null, weil sie in der Erde (in unendlicher Entfernung) den Werth Null hat. Nehmen wir also den Fall, dass in den Isolatoren keine Elektricität vorhanden und dass alle Leiter, mit Ausnahme des $q\!$ten, mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind, so reducirt sich die Potentialfunction auf

$V=a_{q}u_{q},\!$

und die auf den einzelnen Leitern vorhandenen Elektricitätsmengen sind resp.

$u_{1q}\,a_{q},\,u_{2q}\,a_{q},\ldots u_{kq}\,a_{q}.$

Ebenso findet sich, dass

$\nu _{1},\,\nu _{2},\ldots \nu _{k}.$