Schwere, Elektricität und Magnetismus:197

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 183
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Aufgabe der Elektrostatik.

jedes Leiters überall gleich Null ist. Die elektrischen Ladungen der Leiter sind also mit endlicher Dichtigkeit über ihre Oberflächen ausgebreitet. Um die Dichtigkeit in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ der Oberfläche zu finden, bemerken wir, dass auch der Satz (3) des §. 18 hier gültig ist mit der Modification, dass hier $-V\!$ zu schreiben ist, wo dort $V\!$ steht. Bezeichnen wir also mit $p\!$ eine Strecke, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)$ aus auf der Normale der Oberfläche gezählt wird, negativ nach dem Innern des Leiters zu, positiv nach aussen, so ergibt sich

(7)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=4\pi \rho .\,$

Nun ist aber im Innern des Leiters und (wegen der Stetigkeit) auch in der Oberfläche $V={\text{const.}}\!$ Folglich haben wir

$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=0,\,$

und die Gleichung (7) geht über in

(8)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=4\pi \rho .$

 Es fragt sich jetzt, wie gross die Elektricitätsmenge ist, welche sich auf der Oberfläche irgend eines Leiters angesammelt hat. Zunächst das Quantum $m\!$, welches ihm ursprünglich mitgetheilt worden. Dazu kommen noch die positiven und die negativen Elektricitätsmengen, welche unter der Einwirkung aller überhaupt vorhandenen Ladungen aus dem neutralen Gemisch des betrachteten Leiters ausgeschieden sind. Das Quantum der durch Scheidung hervorgerufenen positiven Elektricität ist aber ebenso gross wie das der negativen. Demnach ist die algebraische Summe aller auf der Oberfläche eines Leiters vorhandenen Elektricität gleich der Elektricitätsmenge $m\!$, welche ihm ursprünglich mitgetheilt worden.

 Es sei $d\sigma _{1}\!$ ein Oberflächen-Element des ersten Leiters. Wir errichten in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ dieses Elementes die Normale, auf welcher von ihrem Fusspunkte aus die Strecke $p\!$ negativ nach innen, positiv nach aussen gezählt wird, und bilden das Product

${\frac {1}{4\pi }}\,\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1}.$

Dasselbe gibt, wie man aus Gleichung (8) ersieht, die Elektricitätsmenge an, welche über das Oberflächen-Element $d\sigma _{1}\!$ ausgebreitet