Schwere, Elektricität und Magnetismus:186

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Dritter Abschnitt. §. 42.

Man hat aber

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dy_{i}}{dt}}={\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dz_{i}}{dt}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$

wenn zur Abkürzung $q^{\prime }$ für ${\frac {dq}{dt}}$ gesetzt wird. In den Gleichungen (3) sind ${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}},\ldots \,$ bekannte Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$. Führt man also in die Gleichung (2) für ${\frac {dx_{i}}{dt}},{\frac {dy_{i}}{dt}},{\frac {dz_{i}}{dt}}$ die Ausdrücke ein, welche die rechten Seiten von (3) angeben, so geht dadurch $T\!$ in eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }$ über, und die auftretenden Coefficienten sind Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Das Potential $\ P$ ist eine Function von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 In unserm Problem wird die Anfangs- und die Endlage des Systems als bekannt vorausgesetzt. Es sind also die Anfangs- und die Endwerthe von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ bekannt.

 Gehen wir nun daran, das Prinzip des Lagrange in Anwendung zu bringen, so ist die Variation

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

herzustellen. Es findet sich

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$ $=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P_{i}}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}\right\rbrace dt.$

 Der Bestandtheil

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }dt$

ist zu transformiren. Wir erhalten