Schwere, Elektricität und Magnetismus:187

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 173
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Das nicht freie System.

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }\,dt=\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}{\frac {d\,\delta q_{i}}{dt}}\,dt$ $=\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t}-\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t=0}$ $-\int \limits _{0}^{t}\delta q_{i}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}dt.$

Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems $\delta q_{i}=0\!$ ist. Also erhalten wir

(4)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

$=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)\right\rbrace dt.$

Nach dem Princip des Lagrange ist nun

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0,$

und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit

(5)	$\sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)=0$

sei. Diese Gleichung zerfällt in $\ k$ einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich

(6)	$-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}=0,$