Schwere, Elektricität und Magnetismus:182

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 168
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Dritter Abschnitt. §. 40

(10)

$u=0,\,$

wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Das Hindernis, welches dadurch der freien Bewegung des Punktes entgegengesetzt wird, kann nur eine Kraft aufheben, deren Richtung stets in die negative oder in die positive Normale der Fläche fällt. Also wird auch die Zusatzkraft $\mu \!$ welche im Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ anzubringen ist, die Richtung der positiven oder der negativen Normale haben. Setzen wir zur Abkürzung

(11)	$\mu :{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\right)^{2}}}=\lambda ,$

so hat jene Zusatzkraft die Componenten

$\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}},$

und ihr virtuelles Moment ist

(12)	$\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\,\delta x_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\,\delta y_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\,\delta z_{i}=\lambda \,\delta u.$

Das Vorzeichen von $\lambda \!$ ist positiv oder negativ, je nachdem die Zusatzkraft in die positive oder in die negative Normale fällt. Der Werth von $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Aber das virtuelle Moment $\lambda \,\delta u\!$ ist gleich Null, weil $\delta u=0\!$ vermöge der Gleichung (10).

 Fünftens. Der Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ soll sich frei bewegen können in dem Raume, für welchen $F(x,\,y,\,z)>0$ ist, und auf der Fläche (9). Er werde aber verhindert, durch diese Fläche hindurch in den Raum überzutreten, für welchen $F(x,\,y,\,z)<0\,.$ Diese Bedingung lässt sich so aussprechen:

(13)	$u\geq 0,$

wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Hier ist die Zusatzkraft $\mu \!$, welche dieselbe Wirkung ausübt wie das Hindernis, gleich Null, so lange $u>0.\,$ Sie ist positiv, wenn $u=0\,.$ Ihr virtuelles Moment ist

(14)	$\lambda \,\delta u,$

wobei $\lambda \!$ wieder durch die Gleichung (11) definirt wird. Dieses Moment ist $=0\,,$ so lange $u>0\,,$ weil dann $\lambda =0\!$ ist. Es ist Null oder positiv für $u=0\,.$ Denn dann ist $\lambda \!$ positiv und $\delta u\geq 0\!$ vermöge der Bedingung (13).

 Fassen wir die gewonnenen Resultate zusammen. Die Bedingungen, welche den Punkten des unfreien Systems durch die