Schwere, Elektricität und Magnetismus:181

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 167
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Das nicht freie System.

Grösse an beliebig vermehrt, aber unter diese Grösse herab nicht vermindert werden kann. Diese Bedingung lässt sich durch (5) ausdrücken, wenn

$u=r-{\text{const.}}\!$

gesetzt wird. Die Verbindung bildet kein Hindernis, so lange $u>0\!$, und ebenso lange ist demnach die Zusatzkraft $\lambda =0\!$. Wenn aber $k=0\!$ ist, so hebt die Verbindung zwei gleich grosse Anziehungskräfte auf, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$ die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Bezeichnet man wieder mit $\lambda \!$ die absolute Grösse der beiden Zusatzkräfte, welche im Punkte $m_{i}\!$ und im Punkte $m_{k}\!$ anzubringen sind, so gelten (Fig. 29) für die Componenten die Gleichungen (3). Das virtuelle Moment dieser Zusatzkräfte ist demnach

(8)	$\lambda \;\delta r=\lambda \;\delta u.$

Es ist gleich Null für $u>0,\!$ weil dann $\lambda =0.\!$ Es ist gleich Null oder positiv, wenn $u=0,\!$ ist. Denn dann ist $\delta u\geq 0,\!$ vermöge der Bedingung (5). Der Werth der absoluten Grösse $\lambda \!$ bleibt für $u=0\!$ wieder vorläufig unbestimmt.

 Viertens. Der Punkt $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ sei gezwungen, in einer Fläche zu bleiben, welche durch die Gleichung

(9)	$F(x,\;y,\;z)=0$

charakterisirt wird. Die Fläche scheidet zwei Räume von einander. Für jeden Punkt $(x,\;y,\;z)$ in dem einen Raume $F(x,\;y,\;z)>0,$ für jeden Punkt in dem anderen Raume ist $F(x,\;y,\;z)<0.$ Für irgend einen Punkt $(x,\;y,\;z)$ in der Fläche selbst unterscheiden wir die positive und die negative Normale. Die positive Normale geht von dem Punkte aus in den Raum, für welchen $F(x,\;y,\;z)$ positiv ist. Sie schliesst mit den positiven Richtungen der Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

${\frac {\partial F}{\partial x}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$ ${\frac {\partial F}{\partial y}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$ ${\frac {\partial F}{\partial z}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}.$

Die Bedingung, an welche die Bewegung des Punktes $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ geknüpft ist, lässt sich durch die Gleichung ausdrücken: