Schwere, Elektricität und Magnetismus:160

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 146
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Zweiter Abschnitt. §. 34.

Function von $x,\,y,\,z$ ist, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ den Werth Null hat, im Innern aber an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\!$.

 Das Integral (2) hat unter dieser Voraussetzung einen endlichen, positiven Werth, der im allgemeinen ein anderer sein wird, wenn man von einer Function $u\!$ zu einer andern übergeht. Nun gibt es zwar unendlich viele Functionen $u\!$, die den aufgestellten Bedingungen genügen, und folglich wird man ihnen entsprechend auch unendlich viele Integralwerthe erhalten. Die letzteren sind aber sämmtlich positiv und endlich. Demnach ist unter ihnen jedenfalls einer vorhanden, der kleiner als alle übrigen ist. Dieser kleinste Werth des Integrals $\Omega (u)\!$ kann nur in einem Falle gleich Null sein, nemlich wenn im Innern des Raumes $S\!$ die ersten Derivirten der zugehörigen Function $u\!$ überall gleich Null sind. Es müsste also diejenige Function $u\!$, welche das Minimum zu Stande bringt, im Innern von $S\!$ constant sein, und da sie eine stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function $v\!$ ist, so müsste auch diese an jeder Stelle der Oberfläche denselben constanten Werth haben. Schliessen wir diesen Specialfall durch die Voraussetzung aus, dass $v\!$ in der Oberfläche stetig variabel sein soll, so ist der Minimalwerth des Integrals um eine positive endliche Grösse von Null verschieden.

 Diejenige Function $u\!$, für welche das Integral (2) seinen kleinsten Werth annimmt, soll für das Innere des Raumes $S\!$ mit $v\!$ bezeichnet werden. Dann lässt sich jede andere Function $u\!$ in die Form bringen

$u=v+h\;s.$

Wir wollen nun die Constante $h\!$ unendlich klein nehmen. Dann lautet die Bedingung des Minimum

(3)	$\Omega (v)\leq \Omega (v+h\;s).$

 Nun hat man aber

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial x}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial x}},\,$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial y}},\,$ ${\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial z}}.\,$