Schwere, Elektricität und Magnetismus:161

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 147
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Eindeutige Existenz der Function $U$. Dirichlet's Princip.

Folglich ist

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}=&\left\{\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}\right\}\\&+2h\left\{{\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right\}\\&+h^{2}\left\{\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\},\\\end{aligned}}$

und danach findet sich

(4)	$\Omega (v+h\;s)$

${\begin{aligned}=\Omega (v)&+2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz\\&+h^{2}\Omega (s).\!\\\end{aligned}}$

 Wird nun für $u=v+h\,s\!$ die Bedingung (3) befriedigt, so ist der Coefficient von $2h\!$ auf der rechten Seite der Gleichung (4) nothwendigeweise gleich Null. Denn sonst könnte man das Vorzeichen von $h\!$ so wählen, dass das Product

$2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz$

negativ ausfiele, und den Zahlwerth von $h\!$ so klein, dass das positive Glied $h^{2}\Omega (s)\!$ kleiner würde als der absolute Werth des vorhergehenden negativen Gliedes. Dann hätte man

$\Omega (v+h\;s)<\Omega (v),$

was mit (3) im Widerspruch steht. Also ist

(5)	$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz=0$

die nothwendige und, wie man leicht sieht, auch die ausreichende Bedingung für das Zustandekommen des Minimum $\Omega (v).\!$ Die linke Seite der Gleichung (5) transformiren wir nach §. 20 und erhalten

(6)	$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz$

$=-\int s\,{\frac {\partial v}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz.$

Das erste Integral auf der rechten Seite ist über die Oberfläche des Raumes $S\!$ zu erstrecken. Sein Werth ist null, da nach der Voraussetzung in jedem Punkte der Oberfläche $s=0\!$ ist. Die Bedingung (5) für das Minimum geht also über in