Schwere, Elektricität und Magnetismus:159

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 145
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Eindeutige Existenz der Function $U\!$. Dirichlet's Prinzip.

Gauss seiner Function $U\!$ zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes $S\!$ lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function $V+{\frac {1}{r}}$ für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function $U\!$ aufstellt.

 Dieser Beweis ist, wie man sieht, nicht rein analytisch. Seine Einkleidung ist der Theorie der Potentialfunction selbst entnommen. Einen rein analytischen Beweis hat später Dirichlet gegeben.*)^[1]

 Der Satz von Dirichlet lautet:

 Ist die Function $v\!$ einwerthig, endlich und stetig variabel für jeden Punkt in der Oberfläche eines begrenzten Raumes $S\!$ gegeben, so lässt sie sich immer und nur auf eine Weise für das Innere so bestimmen, dass sie auch da einwerthig, endlich und stetig variabel ist und der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$

Genüge leistet.

 Um diesen Satz zu beweisen, bilden wir das über den Raum $S\!$ auszudehnende Integral

(2)	$\Omega (u)=\iiint \left\lbrack \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrack dx\;dy\;dz.$

 Darin soll mit $u\!$ eine Function bezeichnet werden, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ überall mit der gegebenen Function $v\!$ übereinstimmt, die aber im Innern des Raumes nur an die Bedingung geknüpft ist, dass sie selbst und ihre ersten Derivirten überall einwerthig, endlich und stetig variabel seien. Solcher Functionen $u\!$ gibt es unendlich viele. Bezeichnet man eine von ihnen mit $u_{1},\!$ so lässt jede andere sich in die Form bringen

$u=u_{1}+h\;s,$

wenn $h\!$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\!$ eine

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1. *) In seinen Vorlesungen über die dem umgekehrten Quadrat der Entfernung proportional wirkenden Kräfte.