Schwere, Elektricität und Magnetismus:135

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 121
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Integration durch complexe Werthe der Variablen.

$\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}$

endlich, und der Werth dieses Integrals nähert sich der Grenze Null, wenn man den Radius des kreisförmigen Integrationsweges unendlich klein werden lässt.

 Es bleibt also nur noch das Integral

$\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')$

zu ermitteln, worin wir der Kürze wegen

(6)	${\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}=f(s)$

gesetzt haben. Wir führen nun Polar-Coordinaten $r,\,\varphi$ ein, so dass

$s-\sigma '=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{\varphi \,i}$

zu setzen ist $(i={\sqrt {-1}})$. Demnach haben wir $\lg(s-\sigma ')=\lg r+\varphi \,i\,$. Für Punkte auf der Kreisperipherie ist $r\,$ constant, folglich

$d\,\lg(s-\sigma ')=i\,d\varphi .$

Die Richtung des Integrationsweges ist dieselbe wie die Richtung des wachsenden Bogens. Demnach ergibt sich

$\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(s)\,d\varphi .$

Nun darf man den Radius $r\,$ beliebig klein wählen. Wir lassen ihn unendlich abnehmen und erhalten

(7)	${\begin{aligned}J_{2}-J_{4}&=\lim \int f(s)d\,\lg(s-\sigma ')=2\,\pi \,i\,f(\sigma ')\\&={\frac {2\,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {x^{2}\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

 Die gewonnenen Resultate beantworten die Frage, was aus der Gleichung (4) wird für $x=0\,$. Die linke Seite soll nach der Bedingung (12) des vorigen Paragraphen in Null übergehen. Auf der rechten Seite hat man für das Integral einzusetzen $(J_{1}+J_{4}+J_{3})+(J_{2}-J_{4})\,$ und hierauf den Grenzwerth zu ermitteln für $\lim x=0\,$. Es ist aber, wie schon bewiesen: