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Schwere, Elektricität und Magnetismus:135

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 121
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Integration durch complexe Werthe der Variablen.



endlich, und der Werth dieses Integrals nähert sich der Grenze Null, wenn man den Radius des kreisförmigen Integrationsweges unendlich klein werden lässt.

 Es bleibt also nur noch das Integral



zu ermitteln, worin wir der Kürze wegen


(6)


gesetzt haben. Wir führen nun Polar-Coordinaten ein, so dass



zu setzen ist . Demnach haben wir . Für Punkte auf der Kreisperipherie ist constant, folglich



Die Richtung des Integrationsweges ist dieselbe wie die Richtung des wachsenden Bogens. Demnach ergibt sich



Nun darf man den Radius beliebig klein wählen. Wir lassen ihn unendlich abnehmen und erhalten


(7)


 Die gewonnenen Resultate beantworten die Frage, was aus der Gleichung (4) wird für . Die linke Seite soll nach der Bedingung (12) des vorigen Paragraphen in Null übergehen. Auf der rechten Seite hat man für das Integral einzusetzen und hierauf den Grenzwerth zu ermitteln für . Es ist aber, wie schon bewiesen: