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Schwere, Elektricität und Magnetismus:134

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 120
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Zweiter Abschnitt. §. 27.


 Das Integral kann durch irgend ein anderes ersetzt werden, dessen geschlossener Integrationsweg um herumführt. Wir machen zum Mittelpunkt eines Kreises vom Radius , der so gewählt ist, dass die Peripherie ganz in das von und begrenzte Flächenstück hineinfällt. Wenn man dann das Integral (5) in der Richtung des Pfeiles (Fig. 21) durch die Kreisperipherie erstreckt, so ist sein Werth . Dieses Integral bedarf noch der Untersuchung. Es ist




daraus ergibt sich durch Subtraction



Wir nehmen auf beiden Seiten Logarithmen und erhalten durch Differentiation



wenn mit eine Function bezeichnet wird, die auf der Peripherie und im Innern des Kreises endlich und stetig variabel ist, auch für . Dann ist zunächst das Integral



durch die Kreisperipherie erstreckt, unter keinen Umständen unendlich gross. Denn setzt man , so erhält man unter dem Integralzeichen ein Product, dessen einer Factor ist, und dessen anderer Factor auf der Kreisperipherie und im Innern des Kreises überall endlich ist. Da nun das unbestimmte Integral



auf dem ganzen Integrationswege endlich bleibt, so ist auch, durch die Kreisperipherie erstreckt,