Schwere, Elektricität und Magnetismus:129

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 115
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Integration durch complexe Werthe der Variablen.

Werth höchstens gleich $1\,$ ist. Der erste hat den Grenzwerth $1\,$, und der zweite den Grenzwerth Null. Denn vermöge der Gleichung (22) muss $y^{2}:(\sigma '+\beta ^{2})\,$ endlich sein, selbst wenn $y\,$ und $\sigma '\,$ unendlich gross genommen werden. Folglich ist

$\lim {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}=0$

für $y=\infty \,$.

 Damit ist bewiesen, dass $Y=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.

 Auf demselben Wege wird der Beweis geführt, dass $Z=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.

§. 27. Fortsetzung: Integration durch complexe Werthe der Variablen.

 Die Richtigkeit der Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ ist zwar im vorigen Paragraphen vollständig bewiesen. Doch erscheint es nicht unzweckmässig, einen Theil der Untersuchung noch auf einem anderen Wege vorzunehmen. Es ist dies namentlich die Bestimmung der Functionen $\Phi (y,\,z)$ und $\Psi (y,\,z)$, wenn man dabei von den Gleichungen (14) und (18) des vorigen Paragraphen ausgehen will.

 Es handelt sich darum, den Werth von $Y\,$ aus der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen zu ermitteln für $x=0\,$. Man hat dabei zu beachten, dass für $x=0\,$ die Grösse $\sigma \,$ übergeht in $\sigma '\,$. Dadurch wird aber der Werth des Integrals in (14) unendlich gross, und der erste Bestandtheil von $Y\,$ nimmt in Gleichung (14) die unbestimmte Form $0.\infty \,$ an.

 Um den wahren Werth zu ermitteln, kann man statt des reellen Integrationsweges einen anderen einschlagen, welcher durch complexe Werthe der Variablen führt.

 Wir denken uns nach dem Vorgange von Gauss eine complexe Zahl $s=\xi +\eta {\sqrt {-1}}\,$ repräsentirt durch den Punkt einer Ebene, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi ,\,\eta \,$ sind. Die Zahl $s\,$ nimmt dann alle möglichen complexen Werthe an, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ in der unbegrenzten Ebene in alle möglichen Lagen gebracht wird. Die Werthe von $s\,$ ändern sich stetig, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ eine ununterbrochene Linie stetig durchläuft. Wir sagen dafür der Kürze wegen: die complexe Variable $s\,$ durchläuft die Linie.

 Die Ebene, in welcher der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ beweglich ist, heisst die Zahlenebene. Es ist vortheilhaft, sie im Unendlichen als geschlossen anzusehen, d. h. sie als eine Kugel von unendlich grossem