Schwere, Elektricität und Magnetismus:128

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

${\begin{aligned}Y=&{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace \\&+2\,\varepsilon \,\rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot {\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Das Integral wird zu Null, wenn wir irgend eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nehmen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$, die Grenzen der Integration fallen also zusammen. Die Function unter dem Integralzeichen wird $=0\,$ für $s=\infty \,$, selbst dann noch, wenn $y=\infty \,$ sein sollte. Denn vermöge der Gleichung ${\frac {t-x^{2}}{s}}=0$ kann ${\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}$ nicht unendlich gross werden, wenn $s=\sigma \,$ gesetzt wird und $\sigma =\infty$ ist. Der Werth dieses Bruches ist endlich oder unendlich klein, je nachdem $y\,$ unendlich gross oder endlich ist, und folglich ist ${\frac {y}{s+\beta ^{2}}}$ jedenfalls unendlich klein für $s=\sigma =\infty \,$.

 Wenn also eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross wird, so hat man

$Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace .$

Ist nun $y\,$ endlich, $z=\infty \,$, so wird $\sigma '=\infty \,$ und in Folge dessen $Y=0\,$. Ist $y=\infty \,$, so nimmt der letzte Ausdruck für $Y\,$ die Form $\infty .0\,$ an. Wir schreiben ihn deshalb so:

$Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {{\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1}{1:y}}$

und ermitteln den wahren Werth nach den Regeln der Differentialrechnung. Derselbe findet sich

${\begin{aligned}&=\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y^{2}}{(\sigma '+\beta ^{2})^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\&=-2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},\\\end{aligned}}$

wenn man $\sigma '\,$ und $y\,$ unendlich gross nimmt. Von den drei variabeln Factoren ist der letzte ein positiver echter Bruch, dessen