Schwere, Elektricität und Magnetismus:127

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 113
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\\end{aligned}}$

und ferner

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}.\\\end{aligned}}$

 Beachtet man nun, dass nach den Gleichungen (23)

${\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}+{\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}=2$

ist, so erhält man für einen äusseren Punkt:

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}={\frac {-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho +2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}=0.$

 Die Gleichung (27) geht also für einen äusseren Punkt in folgende über:

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$

Dies ist die partielle DifFerentialgleichung (9).

 Endlich fragt sich noch, welche Werthe $X,\,Y,\,Z$ annehmen, wenn $y\,$ oder $z\,$ oder beide unendlich gross werden.

 Dass $X=0\,$ wird, wenn man irgend eine der drei Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nimmt, ist leicht zu erkennen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$. Die Grenzen des Integrals in (5) fallen also zusammen, und ausserdem wird die Function unter dem Integralzeichen zu Null für $s=\infty \,$.

 Für $Y\,$ nehmen wir den Ausdruck (15) und führen unter dem Integralzeichen die vorgeschriebene Differentiation aus. Wird dann noch $\Phi (y,\,z)$ aus (17) genommen, so lässt sich schreiben: