Schwere, Elektricität und Magnetismus:126

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

Aus den Gleichungen (24), (25), (26) ergibt sich unmittelbar durch Addition

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\\&+2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\left({\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}\right)}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Diese Gleichung reducirt sich noch, wenn man berücksichtigt, dass

${\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}={\frac {\partial t}{\partial s}}$

ist. Man erhält

(27)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}.$

Nun ist zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des unendlich langen Cylinders liegt oder ausserhalb.

 Für einen Punkt im Innern ist $\sigma '=0\,$ und in Folge davon

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$

 Für einen inneren Punkt geht also die Gleichung (27) über in folgende:

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho .$

Dies ist die partielle Differentialgleichung (10).

 Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume, so ist $\sigma '\,$ die eine positive Wurzel der Gleichung (22), also eine Function von $y\,$ und $z\,$. Deshalb erhalten wir