Schwere, Elektricität und Magnetismus:125

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 111
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Anziehung eines homogonen elliptischen Cylinders.

Der Beitrag ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, welcher auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, ist gleich Null, weil ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$ ist.

 Die Function $Y\,$ nehmen wir in der Form (15). Danach berechnet sich

${\begin{aligned}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,\beta \,\gamma }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho }{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Das erste Integral rechts lässt sich transformiren durch Integration nach Theilen. Wir erhalten

(25)	${\frac {\partial Y}{\partial y}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&-{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Auf demselben Wege berechnen wir

(26)	${\frac {\partial Z}{\partial z}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Psi }{\partial z}}&+{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$