Schwere, Elektricität und Magnetismus:119

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 105
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

(7)

${\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\rho xz}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {(s+\beta ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

In (6) und (7) ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\;$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$.

 Um die Ausdrücke (5), (6), (7) zu verificiren, ist es nothwendig, zunächst zu beweisen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:

(8)	${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}},$ ${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}},$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial z}}.$

 Es muss ferner bewiesen werden, dass ausserhalb des mit Masse erfüllten Cylinders, also für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1,$ die Gleichung erfüllt ist:

(9)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0;$

dagegen im Innern jenes Cylinders, d. h. für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1,$ die andere Gleichung:

(10)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\varepsilon \pi \rho ,$

wenn $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$

 Es muss endlich gezeigt werden, dass in unendlicher Entfernung von dem mit Masse erfüllten Cylinder, d. h. für $\lim \left(y^{2}+z^{2}\right)=\infty :\,$

(11)	$X=0,\quad Y=0,\quad Z=0.\,$

Wir wollen noch bemerken, dass nach der Natur der Aufgabe

(12)	$\left.{\begin{matrix}{Y=0}\\{Z=0}\end{matrix}}\right\}$ für $x=0.\,$

Denn zu irgend einem Massenelemente auf der Seite der positiven $x\,$ lässt sich ein zugehöriges Massenelement auf der Seite der