Schwere, Elektricität und Magnetismus:120

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 106
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

negativen $x\,$ finden, so dass sie zur $yz\,$Ebene symmetrisch liegen. Die beiden Massenelemente sind einander entgegengesetzt gleich. Sie haben von einem beliebigen Punkte $(0,\,y,\,z)$ der $yz\,$Ebene gleichen Abstand. Folglich ist der Beitrag, den sie zu dem Werthe der Potentialfunction im Punkte $(0,\,y,\,z)$ liefern, gleich Null. In dieser Weise lassen sich aber alle Massenelemente paarweise zusammenordnen, und es hat deshalb die Potentialfunction $V\,$ an jeder Stelle der $yz\,$Ebene den constanten Werth Null. Daraus ergibt sich, dass auch die Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ in der $yz\,$Ebene überall gleich Null sein müssen. Dies liefert die Gleichungen (12).

 Wir betrachten zuerst den Ausdruck für $X\,$, also die Gleichung (5). Differenziren wir partiell nach $y\,$, so ergibt sich

${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial X}{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial y}}+{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}.$

Es ist aber $-{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}$ nichts anderes als $2\rho \,$ multiplicirt mit der Function unter dem Integralzeichen, wenn man darin überall $s=\sigma \,$ setzt. Dadurch wird $t-x^{2}=0\,$, folglich auch ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$. Wir erhalten also einfach

${\frac {\partial X}{\partial y}}=-2\,\rho \,y\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {ds}{(s+\beta ^{2}){\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

wofür man auch schreiben kann:

(13)	${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$

 Die Function $Y\,$ aus Gleichung (6) nehmen wir zunächst in der Form

(14)	$Y=-{\frac {2\,\rho \,x\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Phi (y,\,z),$

indem wir uns vorbehalten, die Function $\Phi (y,\,z)$ so zu bestimmen, dass für $x=0\,$ die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.