Schwere, Elektricität und Magnetismus:118

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

Sollen umgekehrt in der Gleichung (2) $x,\ y,\ z$ gegeben sein, so wird dadurch aus der Schaar von Ellipsoiden ein einziges herausgehoben, oder, was dasselbe sagt, es wird dadurch $\sigma \,$ eindeutig bestimmt.

 Sieht man in der Gleichung (3) die grösste Wurzel $\sigma '\,$ als gegeben an, so ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines elliptischen Cylinders zu suchen, dessen Axe in der Axe der $x\,$ liegt. Legt man der Grösse $\sigma '\,$ alle Werthe von $0\,$ bis $+\infty \,$ bei, so erhält man eine Schaar von unendlich vielen elliptischen Cylindern. Ihre Durchschnitte mit der $yz\,$Ebene sind confocale Ellipsen. Eine von ihnen ist zugleich der Durchschnitt der $yx\,$Ebene und der Cylinderfläche (1). Sie wird von allen anderen umschlossen. Sollen umgekehrt $x,\,y,\,z$ gegeben sein, so ist zu unterscheiden, ob der Punkt, dem diese Coordinaten angehören, ausserhalb oder innerhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt. Im ersten Falle gehört er der Oberfläche eines einzelnen von den unendlich vielen Cylindern an, im andern Falle wird er von allen Cylinderflächen umschlossen. In beiden Fällen ist $\sigma '\,$ eindeutig bestimmt, im ersten grösser als Null, im zweiten gleich Null.

 Die Potentialfunction $F(x,\,y,\,z)$ kann man durch ein einfaches Integral nicht ausdrücken, wohl aber jede der Kraft-Componenten $X,\,Y,\,Z$. Wir wollen auch hier die Ausdrücke nicht herleiten, sondern sie als gegeben ansehen und ihre Richtigkeit nachträglich beweisen.

 Diese Ausdrücke sind

(5)	$X=2\rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1^{+}{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

(6)

${\begin{aligned}Y=&-{\frac {2\rho xy}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho \,{\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1^{+}{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}},\\\end{aligned}}$