Schwere, Elektricität und Magnetismus:084

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 19.

Die Werthe von $F\,$ an den Ein- und Austrittsstellen sollen mit $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots F_{2m}$ bezeichnet werden. Dann hat man zunächst

$\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-F_{1}+F_{2}-F_{3}+-\ldots +F_{2m}.\,$

Das Prisma schneidet an den Ein- und Austrittsstellen aus der

Fig. 11.

Oberfläche des Raumes $T\,$ Elemente heraus, die wir mit $d\sigma _{1},\,d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2m}$ bezeichnen. Denkt man sich nun die im §. 11 gebrauchten Coordinaten $q,s,n\,$ eingeführt, so ist ${\frac {\partial x}{\partial n}}\,$ der Cosinus des Winkels, welchen die auf $d\sigma \,$ nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogene Normale mit der Richtung der positiven $x\,$ einschliesst. Dieser Cosinus ist positiv an allen Eintrittsstellen und negativ an allen Austrittsstellen. Nun ist aber das Rechteck $dy\,dz$ die Projection aller Flächenelemente $d\sigma \,$, welche das Prisma aus der Oberfläche von $T\,$ ausschneidet. Man hat also die Gleichungen

$dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{1}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{3}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2m-1}$

und

$-dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{4}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{m}.$

 Folglich ergibt sich

(2)	$-dy\,dz\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\sum F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$