Schwere, Elektricität und Magnetismus:037

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten für einen inneren Punkt.

Raumes ganz beliebig gewählt werden kann, oder - was dasselbe sagt - in der Gleichung dieser Oberfläche

$\varepsilon =f(\theta ,\varphi )\,$

die Function $f\,$ völlig willkürlich ist. Bezeichnet man mit $\rho _{1}\,$ den grössten, mit $\rho _{2}\,$ den kleinsten Werth, welchen die Dichtigkeit $\rho \,$ überhaupt annimmt, so findet sich

$\rho _{1}(\lg R-\lg \varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}>\rho _{2}(\lg R-\lg \varepsilon ).$

Der zu grosse und der zu kleine Werth sind unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Fragt man aber nach dem Grenzwerthe für ein unendlich abnehmendes $\varepsilon \,$, so kann von einem solchen nicht die Rede sein, weil $\lim \lg \varepsilon =-\infty$ ist für $\lim \varepsilon =0.\,$

 Die Integrale in (6) haben also gar keine Bedeutung, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Wollte man in (4) und (5) bei der Integration nach $r\,$ zunächst $\varepsilon \,$ als untere Grenze nehmen, so fände sich

${\frac {1}{2}}\rho _{1}(R^{2}-\varepsilon ^{2})>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,r\,dr>{\frac {1}{2}}\rho _{2}(R^{2}-\varepsilon ^{2})$

und ferner

$\rho _{1}(R-\varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,dr>\rho _{2}(R-\varepsilon ).$

 Auch hier sind die zu grossen und die zu kleinen Werthe unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Diese Unbestimmtheit fällt aber bei unendlich abnehmendem $\varepsilon \,$ weg, weil das von $\varepsilon \,$ Abhängige den Grenzwerth Null hat.

 Um die zweiten Derivirten von $V\,$ auch für den Fall zu ermitteln, dass der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, wollen wir zunächst die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren und erst nachher die neue Differentiation vornehmen.