Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 46.

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§. 46. Fortsetzung: Lösung der Aufgabe.

 Wir wollen mit $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ die constanten Werthe bezeichnen, welche nach eingetretenem Gleichgewichtszustande die Potentialfunction $V\!$ im Innern und auf der Oberfläche der einzelnen Leiter besitzt. Die Grössen $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ stehen mit den Grössen $m_{1},m_{2},\ldots m_{k}$ in einem Zusammenhange, der jetzt näher untersucht werden soll. Zu dem Ende ist es zweckmässig, die Potentialfunction $V\!$ in folgender Weise in einzelne Bestandtheile zu zerlegen.

 Es sei $u_{i}\!$ eine Function von $x,\,y,\,z,$ die im ganzen unendlichen Raume der Gleichung von Laplace Genüge leistet:

(1)	${\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial z^{2}}}=0,$

die in der Oberfläche und im Innern des $i\!$ten Leiters den Werth 1, in der Oberfläche und im Innern aller übrigen Leiter den Werth 0 besitzt. Wir nehmen $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots k,\!$ und stellen so die $k\!$ Functionen $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots u_{k}$her. Dann ist die Differenz

$V-(a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\ldots +a_{k}\,u_{k})=w,$

eine Function, die in der Oberfläche und im Innern sämmtlicher Leiter den Werth Null hat, die überall ausserhalb der Isolatoren der Gleichung von Laplace genügt und für einen Punkt im Innern eines Isolators in derselben Weise wie die Potentialfunction die Dichtigkeit der Elektricität kundgibt. Wir haben dann also

(2)	$V=a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\dotsb +a_{k}\,u_{k}+w,$

und hieraus

${\frac {\partial V}{\partial p}}\,=\,a_{1}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial p}}\,+\,a_{2}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial p}}\,+\dotsb +\,a_{k}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial p}}\,+\,{\frac {\partial w}{\partial p}}.$

Nehmen wir nun das Integral

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q},$

ausgedehnt über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters, und setzen zur Abkürzung

(3)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\mu _{q_{i}},$

(4)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial w}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\nu _{q},$

so gehen die Gleichungen (9) des vorigen Paragraphen in folgende über:

(5)

${\begin{alignedat}{2}m_{1}=\mu _{11}\,a_{1}+\mu _{12}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{1k}\,a_{k}+\nu _{1}&&,\\m_{2}=\mu _{21}\,a_{1}+\mu _{22}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{2k}\,a_{k}+\nu _{2}&&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &&,\\m_{k}=\mu _{k1}\,a_{1}+\mu _{k2}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{kk}\,a_{k}+\nu _{k}&&.\\\end{alignedat}}$

 Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist leicht zu erkennen. Wird ein Leiter durch einen unendlich dünnen Draht mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt, so ist in seiner Oberfläche und in seinem Innern die Potentialfunction gleich Null, weil sie in der Erde (in unendlicher Entfernung) den Werth Null hat. Nehmen wir also den Fall, dass in den Isolatoren keine Elektricität vorhanden und dass alle Leiter, mit Ausnahme des $q\!$ten, mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind, so reducirt sich die Potentialfunction auf

$V=a_{q}u_{q},\!$

und die auf den einzelnen Leitern vorhandenen Elektricitätsmengen sind resp.

$u_{1q}\,a_{q},\,u_{2q}\,a_{q},\ldots u_{kq}\,a_{q}.$

Ebenso findet sich, dass

$\nu _{1},\,\nu _{2},\ldots \nu _{k}.$

die Elektricitätsmengen auf den einzelnen Leitern sein würden, wenn alle ableitend berührt sind und nur die Ladungen der Isolatoren wirken.

 Es lässt sich beweisen, dass $\mu _{iq}=\mu _{qi}\!$ ist. Nehmen wir nemlich das Integral

$\int \left(u_{i}\,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}-u_{q}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)d\sigma ,$

ausgedehnt über sämmtliche Leiter-Oberflächen, so ist der Werth desselben nach dem Satze von Green gleich Null. Das Integral reducirt sich aber wegen der Eigenschaften der Functionen $u\!$ auf die Differenz

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

wobei das erste Integral nur über die Oberfläche des $i\!$ten, das zweite nur über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters zu erstrecken ist. Demnach haben wir

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q}=0,$

oder

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}={\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

d. h. nach Gleichung (3):

(6)	$\mu _{iq}=\mu _{qi}.\,$

 Lösen wir die Gleichungen (5) in Beziehung auf $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}\,$ als Unbekannte auf, so ergibt sich

(7)

${\begin{alignedat}{2}a_{1}=\alpha _{11}m_{1}+\alpha _{12}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{1k}m_{k}+\beta _{1}&,\\a_{2}=\alpha _{21}m_{1}+\alpha _{22}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{2k}m_{k}+\beta _{2}&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &,\\a_{k}=\alpha _{k1}m_{1}+\alpha _{k2}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{kk}m_{k}+\beta _{k}&.\\\end{alignedat}}$

 Die Coefficienten $\alpha \!$ genügen in Folge der Gleichung (6) den Bedingungen, dass

(8)	$\alpha _{iq}=\alpha _{qi}.\,$

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