Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 37.

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§. 37. Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft für ein freies System von materiellen Punkten. Die Gleichung: $T-P={\text{const.}}\!$

 Wir gehen über zu der Betrachtung eines Systems von bewegten materiellen Punkten. Ihre Massen seien $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}\!$. Die Coordinaten des Punktes von der Masse $m_{i}\!$ bezeichnen wir mit $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ und die Componenten der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft mit $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ Diese Componenten sollen von der gegenseitigen Lage der Punkte abhängig sein. Deshalb können wir jetzt nicht jeden Punkt einzeln betrachten, wir fassen sie gleichzeitig in ihrer Gesammtheit auf, wir untersuchen die Bewegung des Systems.

 Das System soll frei sein, d.h. jeder Punkt soll der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft ohne Hindernis Folge leisten. Dann gelten für jeden einzelnen Punkt die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen. Wir können demnach für den Punkt $m_{i}\!$ die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ableiten, welche jetzt lautet:

${\frac {1}{2}}m_{i}\left({\frac {ds_{i}}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt,$

oder, wenn man ${\frac {ds_{i}}{dt}}=v_{i}$ setzt:

${\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt.$

Diese letzte Gleichung stellt $n\!$ einzelne Gleichungen vor, die man erhält, wenn für $i\!$ der Reihe nach die ganzen Zahlen $1,2,3,l\dots n\!$ gesetzt werden. Wir wollen diese $n\!$ Gleichungen durch Addition verbinden. Dadurch ergibt sich

(1)	$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right).$

Hier ist wieder der Fall von besonderer Wichtigkeit, dass $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ die resp. nach $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $P\!$ sind, welche direct nur von den Coordinaten der sämmtlichen bewegten Punkte abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. Dann ist

$dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)={\frac {dP}{dt}}dt$

das vollständige Differential der Function $P\!$. Es gibt die Arbeit an, welche das System in dem auf die abgelaufene Zeit $t\!$ folgenden Zeitelement $dt\!$ verrichtet.

 Setzen wir noch zur Abkürzung

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\;v_{i}^{2}=T,$

so kann unter der eben gemachten Voraussetzung die Gleichung (1) geschrieben werden

(2)	$\!T-P={\text{const.}}$

 Die Differenz der beiden Functionen $T\!$ und $P\!$ nennt man die mechanische Kraft des Systems. Die Function $T\!$ heisst die virtuelle mechanische Kraft, $P\!$ die potentielle mechanische Kraft.

 Wir bezeichnen mit $T_{0}\!$ und $P_{0}\!$ die Werthe, welche die Functionen $T\!$ und $P\!$ zur Zeit $t=0\!$ haben. Dann ergibt sich aus (2) unmittelbar

(3)	$\!T-T_{0}=P-P_{0}.$

Wenn also die Bedingung für das Vorhandensein der Function $P\!$ erfüllt ist, so berechnet sich der Zuwachs an lebendiger Kraft (virtueller mechanischer Kraft), welche das freie System von materiellen Punkten bei einer wirklich ausgeführten Bewegung erfährt, als die Differenz der Werthe, welche die Function $P\!$ für die Anfangs- und die Endlage der Punkte des Systems besitzt. Diese Differenz ist aber unabhängig von den Wegen, auf welchen die Punkte aus ihrer Anfangslage in die Endlage übergeführt werden. Dieser Satz, welcher in Gleichung (3), oder auch in Gleichung (2) sich ausspricht, ist für das freie System von bewegten materiellen Punkten das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.

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