Schwere, Elektricität und Magnetismus:169

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft

§. 37. Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft für ein freies System von materiellen Punkten. Die Gleichung: $T-P={\text{const.}}\!$

 Wir gehen über zu der Betrachtung eines Systems von bewegten materiellen Punkten. Ihre Massen seien $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}\!$. Die Coordinaten des Punktes von der Masse $m_{i}\!$ bezeichnen wir mit $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ und die Componenten der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft mit $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ Diese Componenten sollen von der gegenseitigen Lage der Punkte abhängig sein. Deshalb können wir jetzt nicht jeden Punkt einzeln betrachten, wir fassen sie gleichzeitig in ihrer Gesammtheit auf, wir untersuchen die Bewegung des Systems.

 Das System soll frei sein, d.h. jeder Punkt soll der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft ohne Hindernis Folge leisten. Dann gelten für jeden einzelnen Punkt die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen. Wir können demnach für den Punkt $m_{i}\!$ die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ableiten, welche jetzt lautet:

${\frac {1}{2}}m_{i}\left({\frac {ds_{i}}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt,$

oder, wenn man ${\frac {ds_{i}}{dt}}=v_{i}$ setzt:

${\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt.$

Diese letzte Gleichung stellt $n\!$ einzelne Gleichungen vor, die man erhält, wenn für $i\!$ der Reihe nach die ganzen Zahlen $1,2,3,l\dots n\!$ gesetzt werden. Wir wollen diese $n\!$ Gleichungen durch Addition verbinden. Dadurch ergibt sich

(1)	$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right).$

Hier ist wieder der Fall von besonderer Wichtigkeit, dass $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ die resp. nach $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $P\!$ sind, welche direct nur von den Coordinaten der sämmtlichen bewegten Punkte abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. Dann ist

$dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)={\frac {dP}{dt}}dt$