Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-VII
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§. 43. Lehrsatz. Zwei ähnliche Systeme von Körpern bestehen aus einer gleichen Anzahl einzelner Theilchen, und diese sind in dem einen Systeme den entsprechenden im andern Systeme ähnlich und proportional, auch haben sie zu einander eine ähnliche Lage und ein gegebenes Verhältniss der Dichtigkeit. Ferner fangen sie an, sich in proportionalen Zeiten auf ähnliche Weise unter sich zu bewegen (die Theilchen des einen Systems unter sich und eben so die des andern unter sich), und die in demselben Systeme befindlichen Theilchen berühren sich gegenseitig nur im Augenblick der Zurückwerfung und ziehen einander an oder fliehen sich nur mit beschleunigenden Kräften, welche sich indirect wie die Durchmesser der entsprechenden Theilchen und direct wie die Quadrate der Geschwindigkeiten verhalten. Unter diesen Umständen werden jene Theilchen der Systeme fortfahren, sich auf ähnliche Weise unter einander zu bewegen, und umgekehrt.
Aehnliche Körper, welche ähnlich liegen, bewegen sich unter einander in proportionalen Zeiten auf ähnliche Weise, indem die gegenseitige Lage am Ende jener Zeiten immer, ähnlich ist, wenn man nämlich die Theilchen des einen Systems mit den entsprechenden des andern vergleicht. Daher werden die Zeiten proportional sein, in denen ähnliche und proportionale Theile ähnlicher Figuren durch die entsprechenden Theilchen beschrieben werden. Hat man also zwei Systeme derselben Art, so werden die entsprechenden Theilchen, wegen der Aehnlichkeit der angefangenen Bewegungen, die letztern fortsetzen, bis sie sich einander begegnen. Werden sie nämlich durch keine Kräfte angetrieben, so schreiten sie nach Gesetz 1. der Bewegung auf geraden Linien fort. Wenn sie sich wechselseitig mit irgend welchen Kräften antreiben, und diese Kräfte sich indirect wie die Durchmesser der entsprechenden Theilchen und direct wie die Quadrate der Geschwindigkeiten verhalten; so werden, weil die Lage der Theilchen ähnlich ist und die Kräfte proportional und, die ganzen aus einzelnen zusammengesetzten Kräfte, welche die conespondirenden Theilchen antreiben (nach Gesetze, Zusatz 2.) eine ähnliche Bestimmung haben, als wenn sie auf Mittelpunkte bezogen würden, welche ähnlich zwischen den Theilchen liegen. Jene ganzen Kräfte werden sich zu einander verhalten, wie die einzelnen sie zusammensetzenden Kräfte, d. h. indirect wie die Durchmesser der entsprechenden Theilchen und direct wie die Quadrate der Geschwindigkeiten; sie bewirken daher, dass die correspondirenden Theilchen fortfahren, ähnliche Figuren zu beschreiben. Dies verhält sich so nach §. 18., Zusatz 1. und 8. des ersten Buches, wenn nur jene Mittelpunkte ruhen. Bewegen sich diese, so bleibt in Folge der ähnlichen Fortbewegung ihre Lage unter den Theilchen der Systeme ähnlich und in den Figuren, welche die Theilchen beschreiben, traten ähnliche Aenderungen ein. Daher wird die Bewegung der correspondirenden und ähnlichen Theilchen selbst ähnlich sein, bis in ihrem ersten Begegnen. Ferner erfolgt dieses und die Zurückwerfung auf ähnliche Weise; hierauf findet (nach dem schon Gezeigten) eine ähnliche Bewegung unter einander statt, bis sie sich aufs neue begegnen, u. s. w. f. ins Unendliche. W. z. b. w.
Zusatz 1. Wenn zwei beliebige ähnliche Körper gegen die correspondirenden Theilchen der Systeme ähnlich gelegen sind, und zwischen denselben in proportionalen Zeiten ähnliche Bewegungen anfangen; wenn nur ihre Grössen und Dichtigkeiten zu einander dasselbe Verhältniss haben, welches zwischen den Grössen und Dichtigkeiten correspondirender Theilchen stattfindet: so setzen erstere die ähnliche Bewegung in proportionalen Zeiten fort. Es hat nämlich dieselbe Bewandtniss mit den grössern Theilen beider Systeme, wie mit ihren Theilchen.
Zusatz 2. Wenn die ähnlichen und ähnlich gelegenen Theile der Systeme alle unter sich ruhen, und zwei derselben, welche grösser als die übrigen sind und einander in beiden Systemen entsprechen, längs ähnlich liegender geraden Linien und auf ähnliche Weise sich irgendwie zu bewegen anfangen; so werden sie in den übrigen Theilen der Systeme ähnliche Bewegungen erregen und fortfahren, sich zwischen ihnen auf ähnliche Weise in proportionalen Zeiten zu bewegen. Sie werden daher Räume beschreiben, welche ihren Durchmessern proportional sind.
§. 44. Lehrsatz. Unter denselben Voraussetzungen werden die grössern Theile der Systeme einen Widerstand erleiden, welcher dem doppelten Verhältniss ihrer Geschwindigkeiten, dem doppelten der Durchmesser und dem einfachen Verhältniss der Dichtigkeit der Theile des Systems proportional ist.
Der Widerstand entspringt nämlich zum Theil aus den Centripetal- oder Centrifugalkräften, mit denen die Theilchen der Systeme auf einander wirken, zum Theil aus dem Zusammentreffen und der Zurückwerfung der Theilchen und der grössern Theile. Die Widerstände der ersten Art verhalten sich zu einander, wie die ganzen bewegenden Kräfte, aus denen sie entspringen, d. h. wie die ganzen beschleunigenden Kräfte und die Quantitäten der Materie in den correspondirenden Theilen. Sie verhalten sich daher (nach der Voraussetzung) direct wie die Quadrate der Geschwindigkeiten, indirect wie die Entfernungen der correspondirenden Theilchen und direct wie die Quantität der Materie in den correspondirenden Theilen. Daher (weil die Abstände der Theilchen des einen Systems sich zu den correspondirenden Abständen der Theilchen des andern Systems verhalten, wie der Durchmesser eines Theilchens oder Theiles im ersten Systeme zum Durchmesser des correspondirenden Theilchens oder Theiles im anderen Systeme, und weil die Quantitäten der Materie sich verhalten, wie die Dichtigkeiten der Theile und die Cuben der Durchmesser[1] werden diese Widerstände sich verhalten, wie die Quadrate der Geschwindigkeiten, die Quadrate der Durchmesser und die Dichtigkeiten der Theile beider Systeme. W. z. b. w.
Die Widerstände der zweiten Art verhalten sich wie die Anzahl der correspondirenden Zurückwerfungen und die Kräfte zusammengesetzt. Die Anzahl der Zurückwerfungen verhält sich zu einander direct wie die Geschwindigkeit der correspondirenden Theile und indirect wie die Zwischenräume der Zurückwerfungen. Die zurückwerfenden Kräfte verhalten sich wie die Geschwindigkeit, die Grösse und die Dichtigkeit der correspondirenden Theile, d. h. wie die Geschwindigkeit, die Cuben der Durchmesser und die Dichtigkeit der Theile.
Verbindet man alle diese Verhältnisse mit einander, so ergiebt sich, dass die Widerstände der correspondirenden Theile sich zu einander verhalten, wie die Quadrate der Geschwindigkeiten, die Quadrate der Durchmesser und die Dichtigkeiten der Theile zusammengesetzt. W. z. b. w.
Zusatz 1. Sind jene Systeme zwei elastische Flüssigkeiten nach Art der Luft, und ruhen ihre Theile unter sich; werden ferner zwei ähnliche und den Theilen der Flüssigkeiten, in Bezug auf Grösse und Dichtigkeit proportionale Körper, welche auf ähnliche Weise zwischen jenen Theilen liegen, längs ähnlich gelegener geraden Linien auf beliebige Weise geworfen; verhalten sich endlich die beschleunigenden Kräfte, mit denen die Theilchen der Flüssigkeit auf einander wirken, indirect wie die Durchmesser der geworfenen Körper und direct wie die Quadrate der Geschwindigkeiten: so werden jene Körper in proportionalen Zeiten ähnliche Bewegungen in den Flüssigkeiten erregen und Räume beschreiben, welche ähnlich und ihren Durchmessern proportional sind.
Zusatz 2. Ferner wird in derselben Flüssigkeit ein sich schnell bewegendes Projectil einen Widerstand erleiden, welcher sehr nahe im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht. Wenn nämlich die Kräfte, mit denen von einander abstehende Theilchen auf einander wirken, im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit vermehrt würden, so würde das Projectil einen genau doppelt so grossen Widerstand erleiden. Daher steht in einem Mittel, dessen nicht zusammenhängende Theilchen mit gar keinen Kräften auf einander wirken, der Widerstand genau im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit.
Es seien also A, B, C drei Mittel welche aus gleichen und ähnlichen, regelmässig in gleichen Abständen gelegenen Theilen bestehen. Die Theile der Mittel A und B mögen von einander wechselseitig mit Kräften fliehen, welche den Zahlen T und V proportional sind, die Theile des Mittels C seien von derartigen Kräften ganz frei. Es bewegen sich nun vier gleiche Körper D, E, F, G in diesen Mitteln, nämlich D und E in den Mitteln A und B, F und G im dritten Mittel C; die Geschwindigkeit von D stehe zu der von E, und ebenso die Geschwindigkeit von F zu der von G im halben Verhältniss der Kräfte, verhalten sich also zu einander wie
Der Widerstand des Körpers D wird sich alsdann zu dem von E, und ebenso der Widerstand des Körpers F zu dem von G verhalten, wie die Quadrate der Geschwindigkeiten; daher verhält sich der Widerstand von D zu dem von F, wie der von E zu dem von G[2]. Es mögen die Körper D und F gleiche Geschwindigkeit besitzen, und ebenso die Körper E und G. Vermehrt man die Geschwindigkeit der beiden ersten D und F in einem beliebigen Verhältniss, und vermindert man die Kräfte der Theilchen des Mittels B in demselben doppelten Verhältniss; so wird das Mittel B sich dem Mittel C, in Bezug auf Gestalt und Lage, beliebig nähern und die Widerstände, welche die gleichen und gleichschnellen Körper E und G in diesen Mitteln erleiden, werden sich fortwährend der Gleichheit nähern dergestalt, dass ihr Unterschied endlich kleiner wird, als jede angebbare Grösse. Da ferner die Widerstände der Körper D und F sich zu einander verhalten, wie die Widerstände von E und G; so werden auch jene sich auf ähnliche Weise der Gleichheit nähern. Wenn also die Körper D und F sich sehr schnell bewegen, so sind ihre Widerstände sehr nahe gleich, und da der Widerstand des Körpers F im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, so erleidet auch der Körper D einen sehr nahe dem Quadrate der Geschwindigkeit proportionalen Widerstand.
Zusatz 3. Bewegt sich daher ein Körper sehr schnell in einer beliebigen elastischen Flüssigkeit, so erleidet er fast denselben Widerstand, als wenn die Theile der Flüssigkeit ihre Centrifugalkräfte ganz verloren hätten und nicht wechselseitig von einander flöhen; wenn nur die elastische Kraft der Flüssigkeit aus den Centrifugalkräften ihrer Theilchen entspringt und die Geschwindigkeit so gross ist, dass die Kräfte nicht hinreichende Zeit zum Wirken haben.
Zusatz 4. Da ferner die Widerstände ähnlicher und gleichschneller Körper in einem Mittel, dessen getrennte Theile nicht wechselseitig von einander fliehen, sich wie die Quadrate der Durchmesser verhalten; so werden auch die Widerstände gleich schneller und sehr geschwind sich bewegender Körper in einer elastischen Flüssigkeit sehr nahe den Quadraten der Durchmesser proportional sein.
Zusatz 5. Da ähnliche, gleiche und gleichschnelle Körper in Mitteln von derselben Dichtigkeit, deren Theilchen sich wechselseitig nicht fliehen, mögen nun diese Theilchen mehrere und kleinere oder wenige und grössere sein, wenn sie in gleichen Zeiten auf eine gleiche Quantität Materie stossen und derselben eine gleichgrosse Bewegung mittheilen, umgekehrt (nach Gesetz 3. der Bewegung) eine gleiche Rückwirkung von ihr, d. h. gleichen Widerstand erleiden: so müssen offenbar die Widerstände in elastischen Flüssigkeiten von derselben Dichtigkeit, wenn die Körper sich sehr schnell bewegen, sehr nahe gleich sein; mögen die Flüssigkeiten nun aus dickern oder den zartesten Theilchen zusammengesetzt sein. Durch die Zartheit des Mittels wird nämlich der Widerstand sehr schnell sich bewegender Körper nicht bedeutend vermindert.
Zusatz 6. Dies alles verhält sich so bei Flüssigkeiten, deren elastische Kraft aus den Centrifugalkräften der Theilchen ihren Ursprung ableitet. Entspringt dieselbe von anderwärts her, wie etwa aus der Ausdehnung der Theilchen bei der Wolle und den Zweigen der Bäume, oder geht sie aus einer andern beliebigen Ursache hervor, wodurch die Bewegung der Theilchen unter sich weniger frei wird; so fällt auch der Widerstand, wegen des weniger flüssigen Zustandes des Mittels, grösser aus, als in den vorhergehenden Zusätzen.
§. 45. Lehrsatz. Werden eine Kugel und ein Cylinder, welche zu gleichem Durchmesser construirt sind, nach der durch die Axe des letztern angegebenen Richtung, in einem lockern und elastischen Mittel, welches aus gleichen und in gleichen gegenseitigen Abständen befindlichen Theilchen besteht mit gleicher Geschwindigkeit bewegt; so erleidet die Kugel nur einen halb so grossen Widerstand als der Cylinder. Da (nach Gesetze, Zusatz 5.) die Wirkung des Mittels auf einen Körper dieselbe ist, wenn dieser sich im ruhenden Mittel bewegt, oder umgekehrt die Theilchen des Mittels mit derselben Geschwindigkeit gegen den ruhenden Körper stossen; so wollen wir diesen als ruhend ansehen, und untersuchen, welchen Stoss das sich bewegende Mittel auf ihn ausübt.
Es bezeichne demnach ABKJ den kugelförmigen Körper, welcher zum Mittelpunkt C und mit dem Halbmesser CA construirt ist, und es treffen die Theilchen des Mittels mit gegebener Geschwindigkeit auf ihn längs gerader mit AC paralleler Linien. FB sei eine derartige Linie. Auf ihr nehme man LB = CB und ziehe BD, welche die Kugel in B berührt. Auf CK und BD fälle man die Perpendikel BE und LD. Vergleicht man alsdann die Kraft, mit welcher ein Theilchen des Mittels, längs der geraden Linie FB schief auf die Kugel treffend, diese in B stösst, mit derjenigen Kraft, welche dasselbe Theilchen auf den Cylinder ONGQ, der zur Axe ACJ um die Kugel construirt ist ausübt; so verhält sich die erste Kraft zur zweiten, wie
Ferner verhält sich die Wirksamkeit der ersten Kraft zur Bewegung der Kugel in der Einfallsrichtung FB oder AC, zu ihrer Wirksamkeit in Bezug auf die Bewegung der Kugel in ihrer Bestimmungsrichtung, d. h. längs der geraden Linie BC, nach welcher sie direct gegen die Kugel drückt, wie
Verbindet man beide Verhältnisse mit einander, so ergiebt sich, dass die Wirksamkeit des Theilchens, welches längs FB schief die Kugel trifft, um die Kugel nach seiner Einfallsrichtung hin zu bewegen, sich verhalte zur Wirksamkeit desselben Theilchens, um den perpendikulär getroffenen Cylinder in derselben Richtung zu bewegen, wie
Errichtet man daher auf der kreisförmigen Grundfläche NAO des Cylinders das Perpendikel bE = AC = BC und macht man bH = ; so wird
d. h. so verhält sich bH zu bE, wie die Wirksamkeit des Theilchens gegen die Kugel zu seiner Wirksamkeit gegen den Cylinder.
Es wird daher auch der Körper, welcher alle geraden Linien bH umfasst, sich zu dem Körper verhalten, welcher von allen geraden Linien bE gebildet wird, wie die Wirksamkeit aller Theilchen gegen die Kugel zu ihrer Wirksamkeit gegen den Cylinder. Der erstere Körper ist ein Paraboloïd. welches zum Scheitel C, der Axe CA und dem Parameter = CA construirt ist,[4] der letztere ein um das Paraboloïd construirter Cylinder, und es ist bekannt, dass das Paraboloïd der Hälfte des Cylinders gleich ist. Daher ist die Kraft des ganzen Mittels gegen die Kugel halb so gross, als die gegen den Cylinder ausgeübte.
Ruhen endlich die Theilchen des Mittels, und bewegen sich Kugel und Cylinder mit gleicher Geschwindigkeit; so wird der Widerstand, welchen die Kugel erleidet, nur halb so gross sein als derjenige, welchen der Cylinder zu erleiden hat. W. z. b. w.
§. 46. Anmerkung. Nach derselben Methode kann man andere Figuren in Bezug auf den Widerstand, welchen sie erleiden, mit einander vergleichen und diejenigen finden, welche sich zur Fortsetzung ihrer Bewegung im widerstehenden Mittel am besten eignen.
Soll man etwa zur kreisförmigen Basis CEBH, welche aus dem Mittelpunkte O mit dem Radius OC beschrieben ist und zur Höhe OD denjenigen abgekürzten Kegel CBGF bestimmen, welcher von allen über derselben Grundfläche und zu derselben Höhe construirten Kegeln den kleinsten Widerstand erleidet; so halbire man OD in Q, verlängere OQ bis S, so dass QS = QO werde. Alsdann wird S der Scheitel des Kegels sein, dessen abgekürztes Stück man sucht.[5]
Hieraus ergiebt sich nebenbei Folgendes. Da der Winkel CSB immer spitz ist, so lasse man an einem Körper ADBE, der durch Umdrehung der elliptischen oder ovalen Figur ADBE um die Axe AB entstanden ist, die Linien FG, GH, HJ die erzeugende Figur in den Punkten F, B, J so berühren, dass GH im Berührungspunkt B perpendikulär auf der Axe stehe, FG und HJ aber mit GH die Winkel FGB = JHB = 135° bilden. Der Körper, welcher durch Umdrehung der Figur ADFGHJE um dieselbe Axe AB entsteht, wird alsdann einen geringeren Widerstand erleiden, als der frühere Körper, wenn nur beide sich in der Richtung der Axe AB, und zwar der Theil B voran, bewegen. Ich glaube, dass dieser Satz für die Construction von Schiffen nicht ohne Nutzen sein wird.
Ist die Figur DNFB von der Art, dass, wenn man von dem beliebigen Punkte N auf die Axe AB das Perpendikel NM füllt und von dem gegebenen Punkte G die Linie GR der Tangente in N parallel zieht, welche die verlängerte Axe in R schneidet, alsdann MN : GR = GR³ : 4BR · GB² wird; so wird der Körper, welcher durch Umdrehung dieser Figur um die Axe AB entsteht, bei seiner Bewegung von A gegen B in einem lockern und elastischen Mittel einen geringeren Widerstand erleiden, als jeder andere beliebige, bei derselben Länge und Breite beschriebene, kreisförmige Körper.[6]
§. 47. Aufgabe. Man sucht den Widerstand, welchen eine Kugel bei gleichförmiger Bewegung in einem lockeren Mittel erleidet, welches aus gleichen und, in gleichen gegenseitigen Abständen befindlichen, Theilchen besteht.
1. Fall. Man denke sich, dass ein, mit demselben Durchmesser und zu derselben Höhe beschriebener, Cylinder sich mit derselben Geschwindigkeit und in demselben Mittel nach der Richtung seiner Axe bewege. Setzen wir voraus, dass die Theilchen des Mittels, auf welche die Kugel oder der Cylinder treffen, mit der grössten Kraft zurückspringen. Der Widerstand der Kugel ist (nach §. 45.) halb so gross, als der Widerstand des Cylinders; ferner ist die Kugel = ⅔ Cylinder; der Cylinder wird, indem er perpendikulär auf dieselben Theilchen trifft und sie sehr stark zurückwirft, ihnen seine doppelte Bewegung mittheilen: daher wird der Cylinder in derselben Zeit, in welcher er die Hälfte seiner Axe gleichförmig beschreibt, den Theilchen eine Bewegung mittheilen, welche sich zur ganzen Bewegung des Cylinders verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit des Cylinders. Die Kugel wird in der Zeit, in welcher sie ihren ganzen Durchmesser gleichförmig zurücklegt, den Theilchen dieselbe Bewegung mittheilen. In der Zeit, in welcher sie ⅔ ihres Durchmessers zurücklegt, wird sie den Theilchen eine Bewegung mittheilen, welche sich zur ganzen Bewegung der Kugel verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Die Kugel erleidet daher einen Widerstand, welcher sich zu derjenigen Kraft, wodurch ihre ganze Bewegung in der Zeit, während sie ⅔ ihres Durchmessers gleichförmig zurücklegt, genommen oder erzeugt werden könnte, verhält wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel.
2. Fall. Setzen wir voraus, dass die Theilchen, welche die Kugel oder den Cylinder treffen, nicht zurückgeworfen werden und der Cylinder, indem er perpendikulär auf die Theilchen trifft, ihnen seine einfache Geschwindigkeit mittheile; so erleidet er einen halb so grossen Widerstand als vorhin, und dasselbe ist bei der Kugel der Fall.
3. Fall. Gesetzt endlich, die Zurückwerfung der Theilchen von der Kugel geschehe weder mit der grössten Kraft, noch sei diese = 0, sondern habe irgend einen mittlern Werth; alsdann wird auch der Widerstand in demselben mittleren Verhältniss zwischen dem des 1. und 2. Falles stehen.
Zusatz 1. Sind die Kugel und die Theilchen des Mittels unendlich hart und von aller elastischen, mithin auch jeder zurückwerfenden Kraft frei; so verhält sich der Widerstand der Kugel zu derjenigen Kraft, durch welche ihre ganze Bewegung in der Zeit, während sie ⅔ ihres Durchmessers zurücklegt, fortgenommen oder erzeugt werden könnte, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel.
Zusatz 2. Der Widerstand der Kugel steht, unter übrigens gleichen Umständen, im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit.
Zusatz 3. Der Widerstand der Kugel steht, unter übrigens gleichen Umständen, im doppelten Verhältniss des Durchmessers.
Zusatz 4. Der Widerstand der Kugel ist, unter übrigens gleichen Umständen, der Dichtigkeit des Mittels proportional.
Zusatz 5. Der Widerstand der Kugel verhält sich wie das Quadrat der Geschwindigkeit, das Quadrat des Durchmessers und die Dichtigkeit des Mittels zusammengesetzt.
Zusatz 6. Die Bewegung der Kugel mit ihrem Widerstände kann folgendermassen dargestellt werden.
Es sei AB die Zeit, in welcher die Kugel durch den gleichförmig fortgesetzten Widerstand ihre ganze Bewegung verlieren kann. Auf AB errichte man die Perpendikel AD und BC, und zwar stelle das letztere jene ganze Bewegung dar. Durch C construire man eine, zu den Asymptoten AD und AB gehörige Hyperbel. Man verlängere AB bis zu einem beliebigen Punkte E und errichte das Perpendikel EF, welches die Hyperbel in F schneidet. Nun vollende man das Parallelogramm CBEG und ziehe AF, welche BC in H schneidet. Wenn nun die Kugel in einer beliebigen Zeit BE, bei gleichförmiger Fortsetzung ihrer ersten Bewegung im nicht widerstehenden Mittel, den durch das Parallelogramm CBEG dargestellten Weg beschriebe; so wird sie im widerstehenden Mittel den durch die Hyperbelfläche CBEF dargestellten Weg zurücklegen, ihre Bewegung wird am Ende jener Zeit durch die Ordinate EF der Hyperbel ausgedrückt werden, nachdem sie den Theil FG desselben verloren hat. Ihr Widerstand am Ende jener Zeit wird durch die Linie BH ausgedrückt, nachdem der Theil CH desselben verloren gegangen ist.[7]
Alles dies erhellt aus §. 7., Zusatz 1. und 3. des zweiten Buches.
Zusatz 7. Wenn also die Kugel in der Zeit T, durch gleichförmige Fortsetzung des Widerstandes R, ihre ganze Bewegung M verlieren würde, so wird sie in der Zeit t im widerstehenden Mittel, durch den im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit abnehmenden Widerstand R, von ihrer Bewegung einen Theil verlieren und den Theil übrig behalten. Sie wird einen Weg beschreiben, welcher sich zu dem in derselben Zeit mit gleichförmiger Bewegung M beschriebenen Wege verhält, wie 2,302585092994 · log ; weil nämlich BCFE zu BCGE in diesem Verhältniss steht.[8]
§. 48. Anmerkung. In diesem Satze habe ich den Widerstand und die Verzögerung auseinandergesetzt, welche sphärische Projectile in nicht zusammenhängenden Mitteln erleiden und gezeigt, dass dieser Widerstand sich zu der Kraft, durch welche die ganze Bewegung des Projectils in der Zeit, während der die Kugel bei gleichförmig fortgesetzter Bewegung ⅔ ihres Durchmessers zurücklegen würde, entweder aufgehoben oder erzeugt werden könnte, verhält wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Hierbei findet die Voraussetzung statt, dass die Kugel und die Theilchen des Mittels höchst elastisch sind, und mit grösster Gewalt zurückgeworfen werden können. Ferner ist diese Kraft nur halb so gross, wenn die Kugel und die Theilchen des Mittels unendlich hart und von aller zurückwerfenden Kraft frei sind.
In coutinuirlichen Mitteln aber, wie im Wasser, warmen Oel und Quecksilber, in denen die Kugel nicht unmittelbar auf alle, Widerstand erzeugenden Theilchen der Flüssigkeit trifft, sondern selbst nur gegen die nächsten drückt, während diese wieder auf andere u. s. w. Druck ausüben, wird der Widerstand noch um das Doppelte kleiner sein. Die Kugel erleidet nämlich in sehr flüssigen Mitteln dieser Art einen Widerstand, welcher sich zu der Kraft verhält, durch die ihre ganze Bewegung während der Zeit, wo sie bei gleichförmig fortgesetzter Bewegung 8/3 ihres Durchmessers zurücklegen würde, aufgehoben oder erzeugt werden könnte, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Dies wollen wir im Folgenden zu zeigen versuchen.
§. 49. Aufgabe. Man soll die Bewegung des Wassers finden, welches durch ein, im Boden eines cylinderförmigen Gefässes gemachtes, Loch fliesst.
Es sei ACDB das Gefäss, AB seine obere Oeffnung, CD der dem Horizont parallele Boden desselben, EF ein kreisfömiges Loch in diesem Boden, G der Mittelpunkt des Loches und GH die auf den Horiuont perpendikuläre Axe des Cylinders.
Man denke sich einen Eiscylinder APQB, Ton derselben Dicke wie das Innere des Gefässes, welcher zugleich dieselbe Axe hat, und beständig mit gleichförmiger Bewegung herabsteigt. Ferner sollen seine Theile in dem Augenblick, wo sie die Oberfläche AB erreichen, flüssig werden und, indem sie sich in Wasser verwandeln, vermöge ihres Gewichtes in das Gefäss hinabfliessen. Dort bilden sie einen Wasserfall oder eine Wassersäule ABNFEM, welche durch das Loch EF geht und dasselbe gänzlich ausfüllt. Man setze voraus, dass die Geschwindigkeit, womit das Eis herabsteigt, so wie die Geschwindigkeit des im Kreise AB damit zusammenhängenden Wassers gleichförmig und so gross sei, als sie dieses Wasser bei einem freien Falle durch die Höhe JH erlangen kann, so wie dass JH und HG in gerader Linie liegen. Durch den Punkt J sei die Linie KL dem Horizont parallel gezogen und dieselbe schneide die Seiten des Eiskörpers in K und L. Die Geschwindigkeit des durch das Loch EF abfliessenden Wassers wird dieselbe sein, welche das durch die Hohe JG herabfallende Wasser erlangen kann. Nach den Lehrsätzen Galilei’s wird daher JG sich zu JH verhalten, wie das Quadrat der Geschwindigkeit des durch das Loch abfliessenden Wassers zum Quadrat des im Kreise AB fallenden, d. h. wie das Quadrat des Kreises AB zum Quadrat des Kreises EF. Die Geschwindigkeiten des Wassers, welches in gleicher Zeit und Menge durch verschiedene Kreise hindurchgeht, verhalten sich nämlich umgekehrt, wie die Flächen dieser Kreise[9]. Es handelt sich hier um die Geschwindigkeit des gegen den Horizont fliessenden Wassers. Was die dem Horizont parallele Bewegung betrifft, wodurch die Theile des Wassers sich einander nähern, so soll diese hier keinesweges in Betracht gezogen werden, weil sie nicht von der Schwere herrührt und nichts in der gegen den Horizont perpendikulären Bewegung ändert, welche durch die Schwere hervorgebracht wird. Wir setzen indessen voraus, dass die Theile des Wassers einige Cohäsion besitzen und dass sie vermöge derselben, während des Fallens sich einander durch horizontale Bewegungen nähern, dergestalt, dass sie einen einzigen Wasserfall bilden und nicht in mehrere derartige getheilt sind. Wir nehmen aber hier keine Rücksicht auf die horizontale Bewegung, welche durch diese Cohäsion hervorgebracht wird.
1. Fall. Man denke sich die ganze Höhlung des Gefässes, welche das fallende Wasser ABNFEM umgiebt, voll Eis, so dass das Wasser längs dieses Eises, wie längs der Wände eines Trichters, vorüberfliesse. Wenn das Wasser das Eis nur eben berührt, und wegen der vollkommenen Politur des letzteren ganz frei und ohne jeden Widerstand vorüberfliesst; so wird es durch das Loch EF mit derselben Geschwindigkeit wie vorhin abfliessen und es wird das ganze Gewicht der Wassersäule ABNFEM verwandt werden, um diesen Abfluss wie vorhin hervorzubringen. Der Boden des Gefässes wird das Gewicht des, die Säule umgebenden, Eises zu tragen haben. Nun werde das Eis im Gefässe wieder flüssig, alsdann wird der Abfluss des Wassers, in Betreff der Geschwindigkeit unverändert bleiben. Sie wird nämlich nicht kleiner, weil das zu Wasser gewordene Eis sich bestrebt herabzusteigen, und nicht grösser, weil das letztere nicht herabsteigen kann, ohne das andere Wasser, dessen Fall dem seinigen gleich ist, am Abfliessen zu hindern. Dieselbe Kraft muss dem abfliessenden Wasser dieselbe Geschwindigkeit mittheilen.
Das Loch im Boden des Gefässes muss aber etwas grösser als vorhin sein, wegen der schiefen Bewegung der abfliessenden Wassertheilchen. Alle die letzteren können nämlich nicht in perpendikulärer Richtung durch das Loch gehen, sondern werden, indem sie überall von den Seiten des Gefässes herkommen und gegen das Loch zu convergiren, dort in schiefer Richtung durchfliessen. Indem sie nun alle das Bestreben haben, durch den Boden fortzugehen, wird ihre Bewegung mit derjenigen Wasserader übereinstimmen, welche perpendikulär durchfliesst. Diese Wasserader ist ausserhalb der Oeffnung etwas dünner, als in der Oeffnung selbst, indem ihr Durchmesser sich zu dem der letzteren, wenn ich richtig gemessen habe, nahebei wie 5 : 6 oder wie 5,5 : 6,5 verhält. Ich bediente mich eines sehr dünnen platten Bleches, das in der Mitte durchbohrt war, und welche kreisförmige Oeffnung 5/8 Zoll im Durchmesser hatte. Damit nun die heraustretende Wasserader nicht beschleunigt und durch die Beschleunigung noch enger würde, brachte ich dieses Blech nicht im Boden, sondern an der Seitenwand des Gefässes an, so dass jene Ader längs einer, dem Horizonte parallelen, Richtung heraustrat Wenn nun das Gefäss voll Wasser war, öffnete ich das Loch, damit das Wasser durchfliessen sollte, und es fand sich nun der Durchmesser der Ader, in einem etwa ½ Zoll entfernten Abstande von der Oeffnung nach einer sehr genauen Messung gleich 21/40 Zoll. Es verhält sich also der Durchmesser dieser Oeffnung zu dem der Wasserader sehr nahe, wie 25 : 21. Das Wasser convergirt demnach, indem es durch das Loch fliesst, von allen Seiten her und wird, nachdem es aus dem Gefäss getreten ist, durch diese Convergenz dünner und wird durch diese Verdünnung beschleunigt, bis es zu einem Abstande von ½ Zoll von der Oeflnung gelangt, in welchem Abstande es dünner geworden ist, und eine im Verhältniss 25² : 21², oder ungefähr 17 : 12, d. h. : 1 grössere Geschwindigkeit erlangt hat
Durch Versuche ist aber bekannt, dass eine Wassermenge, welche während einer gegebenen Zeit durch ein kreisförmiges Loch im Boden des Gefässes fliesst, dieselbe ist, welche mit der vorherbesagten Geschwindigkeit nicht durch jene, sondern durch eine kreisförmige Oeffnung, deren Durchmesser sich zu dem jener Oeffnung wie 21 : 25 verhält, in derselben Zeit abfliessen muss. Jenes ausfliessende Wasser hat daher in der Oeffnung selbst sehr nahe dieselbe abwärts gerichtete Geschwindigkeit, welche es vermöge der Schwere, beim freien Falle durch die halbe Höhe des im Gefässe befindlichen Wassers erlangen könnte. Nachdem es aber aus dem Gefässe getreten ist, wird es durch die Convergenz beschleunigt, bis es in eine dem Durchmesser der Oeffnung nahe gleiche Entfernung von dieser gelangt und da eine Geschwindigkeit erlangt, welche ungefähr im Verhältniss : 1 grösser als diejenige ist, welche es beim freien Falle durch die ganze Höhe des im Gefässe befindlichen Wassers erreichen könnte. Im Folgenden werden wir also den Durchmesser der Wasserader durch die kleinste Oeffnung darstellen, welche wir EF nennen wollen.
Auf die Weise wird die Ader perpendikulär durch die untere Oeffnung gehen, und die ausfliessende Wassermenge wird, mit Rücksicht auf die Grösse dieser Oeffnung, nahezu dieselbe sein, welche die Lösung der Aufgabe erfordert. Man kann daher den, durch beide Ebenen und die ausfliessende Wasserader ausgefüllten, Raum als den Boden des Gefässes betrachten. Damit die Lösung der Aufgabe einfacher und mehr mathematisch werde, ist es besser, die untere Ebene allein als den Boden des Gefässes zu betrachten und vorauszusetzen, dass das längs des Eises oder des Trichters vorüberfliessende Wasser, welches durch die in der unteren Ebene gemachte Oeffnung EF heraustrat, immer seine Bewegung, das Eis hingegen seinen Zustand der Ruhe beibehalte. Es sei also im Folgenden ST der Durchmesser des, um Z als Mittelpunkt beschriebenen, kreisförmigen Loches, durch welches der Wasserfall aus dem Gefässe fliesst, sobald das ganze, im letzteren enthaltene Wasser flüssig geworden ist Ferner sei EF der Durchmesser des Loches, welches genau durch die herabfallende Wassersäule ausgefüllt wird; mag das Wasser durch das obere Loch ST aus dem Gefässe fliessen, oder mag es längs der Eiswände im Gefässe, wie längs eines Trichters, herabfallen. Verhält sich der Durchmesser ST des oberen Loches zum Durchmesser EF des unteren Loches wie 25 : 21, und ist der perpendikuläre Abstand der Ebenen beider Löcher dem Durchmesser des unteren Loches gleich; so wird die Geschwindigkeit des durch ST fliessenden Wassers in ST selbst so gross sein, als diejenige, welche ein aus der Hälfte der Höhe JZ herabfallender Körper erlangen könnte. Die Geschwindigkeit des einen und anderen Wasserfalles wird in der Oeffnung EF so gross sein, als diejenige, welche ein durch die ganze Höhe JG herabfallender Körper erlangen könnte.
2. Fall. Ist das Loch EF nicht in der Mitte des Gefässes, sondern an einer anderen Stelle angebracht, so wird das Wasser mit derselben Geschwindigkeit wie vorhin ausfliessen; vorausgesetzt dass das Loch eben so gross sei. Obgleich nämlich ein schwerer Körper mehr Zeit braucht, um auf einer schiefen Linie zu einer bestimmten Tiefe zu gelangen, als auf einer perpendikulären Linie, so erlangt er doch, wie Galilei gezeigt hat, in beiden Fällen gleiche Geschwindigkeit.
3. Fall. Die Geschwindigkeit des durch eine, an der Seitenwand des Gefässes angebrachte, Oeffnung ausfliessenden Wassers würde auch noch dieselbe sein. Ist nämlich die Oeffnung klein und der Abstand der Oberflächen AB und KL fast Null, so wird der horizontal heraustretende Wasserfaden eine parabolische Form annehmen und man wird aus dem Parameter dieser Parabel ersehen, dass die Geschwindigkeit des ausfliessenden Wassers dieselbe ist, welche ein Körper erlangen könnte, der aus der Höhe HG oder JG des Wassers im Gefässe herabgefallen wäre. Nach angestellten Versuchen fand ich, dass, wenn die Höhe des im Gefässe befindlichen Wassers über der Oeffnung 20 Zoll, und die Höhe der letzteren über der horizontalen Ebene gleichfalls 20 Zoll betrug, der heraussprudelnde Wasserfaden ungefähr in einer Entfernung von 37 Zoll, vom Perpendikel an der Oeffnung gerechnet, niederfiel. Wenn man von dem Widerstände der Luft abstrahirt, so hätte der Wasserfaden in einem Abstande von 40 Zoll niederfallen müssen, indem der Parameter der Parabel = 80 Zoll ist.[10]
4. Fall. Das Wasser wird auch selbst, wenn es aufwärts getragen wird, mit derselben Geschwindigkeit heraustreten. Es steigt nämlich eine kleine heraussprudelnde Wasserader, perpendikulär gegen das im Gefäss ruhende Wasser, zur Höhe GH oder GJ auf, so weit nämlich sein Aufsteigen nicht durch den Widerstand der Luft verhindert wird. Ferner wird es mit derjenigen Geschwindigkeit ausfliessen, welche es durch den Fall aus jener Höhe hätte erlangen können. Jedes Theilchen des ruhenden Wassers wird von allen Seiten gleich stark gedruckt (nach zweitem Buche §. 27.) und begiebt sich, indem es dem Drucke Folge leistet, mit gleicher Gewalt nach allen Seiten hin; mag es nun durch eine Oeffnung im Boden des Gefässes ausfliessen, oder in einen Kanal treten, und von da durch eine kleine, au dessen oberer Fläche angebrachte, Oeffnung ausfliessen. Die Geschwindigkeit, womit es ausfliesst, wird diejenige sein, welche wir nach der Angabe dieses Paragraphen nicht nur durch Rechnung gefunden haben, sondern die sich auch au den beschriebenen Versuchen ergeben hat.
5. Fall. Das ausfliessende Wasser hat dieselbe Geschwindigkeit, mag die Oeffnung kreis-, quadrat- oder dreieckförmig sein, oder irgend eine, der kreisförmigen gleiche, Gestalt haben. Die Geschwindigkeit des ausfliessenden Wassers hängt nämlich nicht von der Gestalt der Oeffnung ab, sondern entspringt aus der Tiefe der letzteren unterhalb der Ebene KL.
6. Fall. Wird der untere Theil des Gefässes ABDC in stillstehendes Wasser eingetaucht, und ist die Höhe des letzteren über dem Boden des Gefässes = GR (Figur 176); so wird die Geschwindigkeit, womit das im Gefäss befindliche Wasser durch die Oeffnung EF in das ruhende Wasser ausfliesst, so gross sein, als diejenige, welche dasselbe bei seinem Falle von der Höhe JR erlangen kann. Das Gewicht des ganzen, unterhalb der Oberfläche des ruhenden Wassers im Gefässe befindlichen, Wassers wird durch das Gewicht des äusseren ruhenden Wassers im Gleichgewicht erhalten, und wird daher keinesweges die Bewegung des im Gefässe herabsteigenden beschleunigen. Dieser Fall wird auch durch Versuche klar werden, indem man nämlich die Zeiten bestimmt, in denen das Wasser ausfliesst.
Zusatz 1. Verlängert man demnach die Höhe CA des Wassers bis K so weit, dass AK zu CK im doppelten Verhältniss der Fläche des in irgend einem Theile des Bodens gemachten Loches zum Flächeninhalt des Kreises AB steht; so wird die Geschwindigkeit des ausfliessenden Wassers derjenigen gleich sein, welche es beim Falle durch die Höhe CK erlangen könnte.
Zusatz 2. Die Kraft, welche die ganze Bewegung des ausfliessenden Wassers erzeugen kann, ist gleich dem Gewicht der cylinderförmigen Wassersäule, deren Basis gleich der Oeffnung EF und deren Höhe gleich 2GJ oder 2CK ist. In der Zeit, in welcher das herausströmende Wasser dieser Säule gleich wird, würde es nämlich beim Falle von der Höhe GJ dieselbe Geschwindigkeit erlangen, mit welcher es ausströmt.
Zusatz 3. Das Gewicht alles Wassers im Gefäss ABDC verhält sich zu dem Theile desselben, welcher gebraucht wird, um das Wasser zum Ausfliessen zu bringen, wie die Summe der Kreise
Ist nämlich JO die mittlere Proportionale zwischen JH und JG, so wird das durch die Oeffnung EF während der Zeit, wo ein von J herabfallender Tropfen den Weg JG zurücklegt, herausströmende Wasser einem Cylinder gleich sein, dessen Basis = EF und dessen Höhe = 2JG, d. h. = einem Cylinder, dessen Basis = AB und Höhe = 2J0. Es verhält sich nämlich (Zusatz 1.)
| 2. | EF : AB = EF : AB = : JG = JO : JG, |
und in der Zeit, wo ein von J herabfallender Tropfen die Höhe JH zurücklegen kann, wird die ausfliessende Wassermenge dem Cylinder gleich, dessen
Folglich verhält sich das ganze, im Gefäss ABDC enthaltene, Wasser zur ganzen, innerhalb des festen Körpers ABNFEM abfliessenden Wassermenge wie
Das Gewicht des ganzen im festen Körper ABNFEM enthaltenen Wassers wird aber gebraucht, um den Ausfluss desselben zu bewirken; folglich verhält sich das Gewicht der ganzen im Gefäss enthaltenen Wassermenge zu dem Theile desselben, welcher zur Bewirkung des Ausflusses verwandt wird, wie
Zusatz 4. Ferner verhält sich das Gewicht des ganzen, im Gefäss ABDC enthaltenen, Wassers zu dem anderen Theile desselben, welchen der Boden des Gefässes zu tragen hat, wie
Zusatz 5. Der Theil des Gewichtes, welchen der Boden zu tragen hat, verhält sich zu dem anderen Theile, welcher zur Hervorbringung des Ausflusses verwandt wird, wie
oder wie der Flächeninhalt des Bodens zum doppelten Flächeninhalt der Oeffnung.
Zusatz 6. Der Theil des Gewichtes aber, durch welchen der Boden des Gefässes gedrückt wird, verhält sich zum ganzen Gewichte des perpendikulär auf dem Boden befindlichen Wassers, wie
oder wie der Kreis AB zum Unterschiede zwischen dem doppelten Kreise AB und dem Boden des Gefässes.
Der Theil des Gewichtes, durch welchen allein der Boden gedruckt wird, verhält sich nämlich (nach Zusatz 4) zum Gewicht des ganzen im Gefäss befindlichen Wassers, wie
und das Gewicht des letzteren zu dem des ganzen, perpendikulär auf dem Boden aufliegenden Wassers, wie
Mithin verhält sich der Theil des Gewichtes, durch welchen allein der Boden gedrückt wird, zum Gewicht des ganzen, perpendikulär auf dem Boden aufliegenden Wassers wie
Zusatz 7. Wird in der Mitte der Oeffnung EF ein kleiner Kreis PQ angebracht, welcher dem Horizonte parallel ist, und dessen Centrum in G sich befindet, so wird das Gewicht des Wassers, welches jener kleine Kreis zu tragen hat, grösser als das Gewicht des dritten Theiles eines Wassercylinders, dessen Basis jener kleine Kreis und dessen Höhe = GH ist. Es sei nämlich ABNFEM ein Wasserfall oder eine herabsinkende Wassersäule, deren Axe wie vorhin GH ist und man denke sich, dass alles Wasser im Gefässe, sowohl das in der Umgebung des Wasserfalles, als auch das über dem kleinen Kreise befindliche, dessen Flüssigkeit nicht zur Beschleunigung des Falles erforderlich ist, erstarre. PHQ sei die über dem kleinen Kreise erstarrte Wassersäule, deren Scheitel in H liegt und deren Höhe GH ist. Denkt man sich ferner, dass dieser Wasserfall durch sein eigenes Gewicht herabsinke und weder auf PHQ aufliege, noch gegen dieselbe drücke, sondern frei und ohne Reibung vorüberfliesse; ausser etwa am Scheitel des Eises selbst, wo der Wasserfall beim Anfange des Sinkens selbst hohl zu werden beginnt. Alsdann wird eben so, wie das in der Umgebung des Wasserfalles erstarrte Wasser AMEC und BNFD an der inneren Oberfläche AME und BNF gegen den sinkenden Wasserfall, auch diese Wassersäule PHQ gegen denselben convex sein. Sie ist daher grösser, als ein Kegel zur Basis PQ und Höhe GH, d. h. grösser, als ⅓ Cylinder zu derselben Basis und Höhe. Jener kleine Kreis trägt aber das Gewicht dieser Säule, ein Gewicht, welches grösser als das eines Kegels oder grösser als ⅓ des Gewichts jenes Cylinders ist.
Zusatz 8. Das Gewicht des Wassers, welches der sehr kleine Kreis PQ zu tragen hat, scheint kleiner zu sein, als ⅔ des Gewichts eines Cylinders, dessen Basis der kleine Kreis und Höhe = GH ist. Unter Voraussetzung der oben angenommenen Umstände denke man sich ein Halbsphäroïd, dessen Basis dieser kleine Kreis und dessen halbe Axe = GH ist. Dasselbe wird ⅔ des Cylinders sein und die erstarrte Wassersäule PQH einschliessen, deren Gewicht der kleine Kreis zu tragen hat. Damit nämlich die Bewegung des Wassers möglichst geradlinig erfolge, muss die äussere Oberfläche dieser Säule mit der Basis PQ unter einem wenig spitzen Winkel zusammentreffen, weil das Wasser im Fallen beständig beschleunigt und in Folge dieser Beschleunigung die Wassersäule dünner wird. Da nun dieser Winkel kleiner als 90° ist, so wird die Säule unten innerhalb eines Halbsphäroïds eingeschlossen sein und oben in einer Spitze enden, damit die horizontale Bewegung des Wassers nicht unendlich geschwinder gegen den Gipfel des Sphäroïds sei, als seine perpendikuläre Bewegung. Je kleiner der Kreis PQ ist, desto spitzer wird die Säule sein, und ist jener unendlich verkleinert, so wird auch der Winkel PHQ unendlich klein und folglich die Säule im Innern eines Sphäroïds liegen. Diese Säule ist daher kleiner als ⅔ des erwähnten Cylinders, und der kleine Kreis hat die Last des Wassers zu tragen, dessen Gewicht dem dieser Säule gleich ist; denn das Gewicht des sie umgebenden Wassers wird zur Bewirkung des Ausflusses gebraucht.
Zusatz 9. Das Gewicht des Wassers, welches der sehr kleine Kreis PQ zu tragen hat, ist nahezu dem Gewicht eines Wassercylinders gleich, dessen Basis dieser Kreis und dessen Höhe es = ½GH ist. Dieses Gewicht ist nämlich das arithmetische Mittel zwischen dem des Kegels und dem des Halbsphäroïds, welche wir besprochen haben. Wäre aber dieser Kreis nicht sehr klein, und vergrösserte man ihn, bis er der Oeffnung EF gleich würde; so hätte er das Gewicht des ganzen Wassers zu tragen, welches perpendikulär auf ihm ruht, d. h. eines Wassercylinders von der Basis des Kreises und Höhe = GH.
Zusatz 10. Das Gewicht, welches dieser kleine Kreis zu trugen hat, verhält sich (so wie es mir scheint) stets zu dem Gewicht des Wassercylinders von der diesem Kreise gleichen Basis und Höhe = ½GH, wie EF² : EF² — ½PQ², oder sehr nahe wie der Kreis EF zum Unterschiede zwischen diesem und der Hälfte des kleinen Kreises PQ.
§. 50. Lehnsatz. Der Widerstand eines, gleichförmig längs seiner Axe fortschreitenden, Cylinders ändert sich nicht, wenn die Axe grösser oder kleiner wird. Er ist also gleich dem Widerstande eines Kreises, welcher um denselben Durchmesser beschrieben wird und mit derselben Geschwindigkeit längs einer, auf seine Ebene perpendikulären, Linie fortschreitet.
Denn die Seiten des Cylinders widerstehen sehr wenig seiner Bewegung, und er geht in einen Kreis über, wenn man seine Axe in’s Unendliche verkleinert.
§. 51. Lehrsatz. Der Widerstand, welcher durch den Querschnitt eines Cylinders hervorgebracht wird, der sich gleichförmig längs seiner Axe in einem zusammengedrückten, unbegrenzten und nicht elastischen Mittel bewegt, verhält sich zu derjenigen Kraft, welche eine ganze Bewegung während der Zeit, wo er das Vierfache seiner Axe zurüklegen kann, aufheben oder erzeugen könnte, sehr nahe wie die Dichtigkeit des Mittels zu der des Cylinders.
Das Gefäss ABDC berühre mit seinem Boden CD die Oberfläche eines stillstehenden Wassers und es fliesse aus jenem das Wasser durch den cylindrischen Kanal EFTS perpendikulär gegen den Horizont. Man bringe den kleinen Kreis PQ parallel mit dem Horizont irgendwo in der Mitte des Kanals an, und verlängere CA bis K so weit, dass AK zu CK im doppelten Verhältniss von demjenigen stehe, welches der Unterschied
Die Kraft des, mit gleichförmiger Bewegung durch den ganzen Kanal abfliessenden, Wassers wird nämlich dieselbe gegen den kleinen Kreis PQ sein, wo dieser sich auch im Kanal befinden mag. Nun setze man voraus, dass die Oeffnungen EF und ST des Kanals verschlossen werden, dass der kleine Kreis in dieser von allen Seiten comprimirten Flüssigkeit emporsteige und durch sein Emporsteigen das oberhalb befindliche Wasser zwinge, durch den zweiten dem Kreise und den Seiten des Kanals befindlichen ringförmigen Raum herabzusteigen. Alsdann verhält sich die Geschwindigkeit des aufsteigenden kleinen Kreises zu der des herabsteigenden Wassers, wie der Unterschied der Kreise EF und PQ zum Kreise PQ selbst, und wieder die Geschwindigkeit des ersten zur Summe der Geschwindigkeiten, d. h. zur relativen Geschwindigkeit, mit welcher das absteigende Wasser am aufsteigenden Kreise vorüberfliesst, wie EF² — PQ² : EF².[12]
Es sei diese relative Geschwindigkeit derjenigen gleich, mit weicher man vorhin das Wasser durch denselben Raum fliessen sah, als der kleine Kreis unbeweglich war, d. h. gleich der Geschwindigkeit, welche das Wasser beim freien Falle durch die Höhe JG erlangen kann. Alsdann wird die Kraft des Wassers gegen den kleinen aufsteigenden Kreis (nach Gesetze, Zusatz 5) dieselbe wie vorhin bleiben, d. h. der Widerstand des kleinen aufsteigenden Kreises wird sich zum Gewicht eines Wassercylinders von der Basis PQ und Höhe ½JG sehr nahe verhalten, wie EF² : EF² — ½PQ². Die Geschwindigkeit des kleinen Kreises wird sich aber zu derjenigen, welche das Wasser beim Fall durch die Höhe JG erlangen könnte, verhalten wie EF² — PQ² : EF².
Vergrössert man die Weite des Kanals in’s Unendliche, so werden die Verhältnisse EF² — PQ² : EF² und EF² : EF² — ½PQ² einander gleich werden. Mithin wird die Geschwindigkeit des kleinen Kreises alsdann diejenige, welche das Wasser beim Falle durch die Höhe JG erlangen kann; sein Widerstand wird aber dem Gewicht des Cylinders von der Basis PQ und Höhe ½JG gleich, aus welcher der Cylinder fallen muss, um die Geschwindigkeit des aufsteigenden kleinen Kreises zu erlangen, und der Cylinder wird mit dieser Geschwindigkeit in der Fallzeit das Vierfache seiner Länge beschreiben. Der Widerstand des Cylinders, welcher mit dieser Geschwindigkeit längs seiner Axe fortgeht, ist (nach §. 50) dem Widerstande des kleinen Kreises gleich. Er ist also sehr nahe derjenigen Kraft gleich, welche die Bewegung erzeugen kann, die er während der Durchlaufung der vierfachen Axe hat.
Vergrössert oder verkleinert man die Axe des Cylinders, so wird seine Bewegung, wie auch die zur Durchlaufung des Vierfachen der Axe erforderliche Zeit in demselben Verhältniss zu- oder abnehmen. Jene Kraft, weiche die vergrösserte oder verkleinerte Bewegung, während einer gleichmässig vergrösserten oder verkürzten Zeit, erzeugen oder zerstören kann, wird sich also nicht ändern; sie wird ferner auch jetzt dem Widerstände des Cylinders gleich, denn auch dieser bleibt, nach §. 50. ungeändert.
Nimmt die Dichtigkeit des Cylinders zu oder ab, so wird seine Bewegung wie auch die Kraft, welche in derselben Zeit die Bewegung erzeugen oder aufheben kann, in demselben Verhältniss zu- oder abnehmen. Der Widerstand eines beliebigen Cylinders wird sich also zu der Kraft verhalten, durch welche seine ganze Bewegung während der Zeit, wo er das Vierfache seiner Axe zurücklegt, erzeugt oder aufgehoben werden kann, sehr nahe wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit des Cylinders. W. z. b. w.
Die Flüssigkeit muss aber zusammengedrückt werden, damit sie zusammenhängend sei, und sie muss zusammenhängend und frei von Elasticität sein, damit der ganze Druck, welcher aus ihrer Compression entspringt, sich augenblicklich fortpflanze und, indem er gleichmässig auf alle Theile des bewegten Körpers wirkt, seinen Widerstand nicht ändere. Der Druck, welcher aus der Bewegung des Körpers entspringt, wird gebraucht, um die Theile der Flüssigkeit zu bewegen und erzeugt den Widerstand. Der Druck aber, welcher aus der Compression der Flüssigkeit entspringt, wie stark er auch sei, bringt, wenn er sich augenblicklich fortpflanzt, keine Bewegung in den Theilen der zusammenhängenden Flüssigkeit hervor und eben so wenig eine Aenderung in der Bewegung; also wird er den Widerstand weder vergrössern noch vermindern. Mit Sicherheit kann die aus ihrer Zusammendrückung herrührende Wirksamkeit der Flüssigkeit nicht stärker an den hinteren Theilen des bewegten Körpers sein, als an den vorderen, und kann daher den in diesem Paragraph besprochenen Widerstand nicht vermindern, auch wird diese Wirksamkeit nicht stärker gegen die vorderen als gegen die hinteren Theile sein, wenn ihre Fortpflanzung nur unendlich schneller erfolgt, als die Bewegung des gedrückten Körpers. Unendlich schneller und augenblicklich wird aber diese Fortpflanzung sein, wenn nur die Flüssigkeit zusammenhängend und nicht elastisch ist.
Zusatz 1. Die Widerstände, welche Cylinder erleiden, die gleichförmig längs ihrer Axen in zusammenhängenden und unbegrenzten Mitteln fortschreiten, stehen in einem Verhältniss, welches aus dem doppelten ihrer Geschwindigkeiten, dem doppelten ihrer Durchmesser und dem einfachen Verhältniss der Dichtigkeit der Mittel zusammengesetzt ist.
Zusatz 2. Ist der Kanal nicht ins Unendliche erweitert, schreitet aber der Cylinder in einem ruhenden eingeschlossenen Mittel nach seiner Länge fort, und fällt inzwischen des letzteren Axe mit der des Kanals zusammen; so wird sein Widerstand zu derjenigen Kraft, durch welche die ganze Bewegung des Cylinders während der Zeit, wo er das Vierfache seiner Länge beschreibt, entweder erzeugt oder aufgehoben werden könnte, in einem Verhältniss stehen, welches aus dem einfachen Verhältniss von EF² : EF² — ½PQ² dem doppelten von EF² : EF² — PQ² und dem einfachen der Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit des Cylinders zusammengesetzt ist.
Zusatz 3. Finden dieselben Voraussetzungen statt, und steht die Linie L zum Vierfachen der Axe des Cylinders in einem Verhältniss, welches aus dem einfachen von EF² — ½PQ² : EF² zu dem doppelten von EF² — PQ² : EF² zusammengesetzt ist; so verhält sich der Widerstand, den der Cylinder erleidet, zu der Kraft, welche seine ganze Bewegung erzeugen oder aufheben könnte, während er den Weg L zurücklegt, wie die Dichtigkeit des Mittels zu derjenigen des Cylinders.
§. 52. Anmerkung. Im vorhergehenden Lehrsatze haben wir nur denjenigen Widerstand gefunden, welcher allein von der Grösse des Querschnittes des Cylinders herrührt, haben aber den Theil desselben vernachlässigt, welcher aus der schiefen Richtung der Bewegungen entspringen kann. Auf dieselbe Weise nämlich, wie in §. 49, 1. Fall die schiefe Richtung der Bewegungen, mit welcher alle im Gefäss enthaltenen Theile des Wassers gegen die Oeffnung EF hin convergirten, dem Ausfluss desselben aus der letzteren hinderlich war, eben so wird in diesem Falle die schiefe Richtung der Bewegungen, mit denen die durch das vordere Ende des Cylinders gedrückten Theile des Wassers dem Drucke nachgeben und nach allen Seiten hin divergiren, ihren Durchgang durch diejenigen Orte verzögern, welche um die vorderen Theile des Cylinders herumliegen, indem dieselben von hier nach den hinteren zurückgehen. Sie bewirkt, dass die Flüssigkeit nach einem grösseren Abstande bewegt wird und vergrössert den Widerstand, und zwar sehr nahe in demselben Verhältniss, in welchem dort der Ausfluss des Wassers aus dem Gefässe vermindert wurde, d. h. im doppelten Verhältniss von 25 : 21.
Eben so wie wir im ersten Fall jenes Paragraphen bewirkten, dass die Theile des Wassers in sehr grosser Anzahl perpendikulär durch die Oeffnung EF flossen, indem wir voraussetzten, dass alles im Gefäss befindliche Wasser, welches um den Cataract gefroren war, und dessen Bewegung in schiefer Richtung und ohne Nutzen stattfand, in Ruhe bliebe; müssen wir in diesem Satze, damit die schiefe Richtung der Bewegungen aufgehoben werde, und die sehr leicht durch eine geradlinige und schnelle Bewegung ausweichenden Theile des Wassers dem Cylinder einen leichten Durchgang gestatten und nur derjenige Widerstand übrig bleibe, welcher aus der Grösse des Querschnittes entspringt und durch Verkleinerung des letzteren vermindert werden kann, — voraussetzen, dass die Theile der Flüssigkeit, deren Bewegung in schiefer Richtung und nutzlos stattfindet, und welche einen Widerstand hervorbringen, unter sich zusammenhängen am Ende des Cylinders in Ruhe bleiben, und den Cylinder umgeben.
Es sei ABDC ein Rechteck, AE und BE zwei parabolische Bogen, deren Axe AB und deren Parameter sich zur Linie GH, welche der Cylinder zur Erlangung seiner Geschwindigkeit frei durchfallen müsste, wie GH : ½AB verhalte. Es seien eben so CF und DF zwei andere parabolische Bogen, deren Axe CD und deren Parameter viermal so gross als der vorhergehende ist. Alsdann wird die Umdrehung dieser Figur um die Axe EF einen Körper erzeugen, dessen mittlerer Theil ABDC der besprochene Cylinder und dessen Enden ABE und CDF die Theile der Flüssigkeit einschliessen werden, welche sich unter einander in Ruhe befinden und, wenn sie hart werden, zwei an beiden Enden des Cylinders wie Kopf und Schwanz hängende feste Körper bilden. Der Widerstand des festen Körpers EACFDB, welcher nach E hin im Sinne seiner Axe FE fortschreitet, wird sehr nahe derjenige sein, von welchem in diesem Satze die Rede war, d. h. der zu der Kraft, durch welche die ganze Bewegung des Cylinders, während er 4AC mit gleichförmiger Bewegung zurücklegt, erzeugt oder aufgehoben werden könnte, sehr nahe dasselbe Verhältniss hat, in welchem die Dichtigkeit der Flüssigkeit zu derjenigen des Cylinders steht. Durch diese Kraft kann der Widerstand, nach §. 49, Zusatz 7, nicht stärker als im Verhältniss 2 : 3 vermindert werden.
§. 53. Lehnsatz. Wenn ein Cylinder, eine Kugel und ein Sphäroïd von gleichen Breiten hintereinander in die Mitte eines cylinderförmigen Kanals gelegt werden, und zwar dergestalt, dass ihre Axen mit der des Kanals zusammenfallen; so werden diese drei Körper dem Durchfluss des Wassers durch den Kanal gleichen Widerstand entgegenstellen.
Die Räume zwischen den Wänden des Kanals einerseits und dem Cylinder, der Kugel und dem Sphäroïd andererseits, durch welche das Wasser fliesst, sind einander gleich, und durch gleiche Räume fliesst das Wasser auf gleiche Weise. Dies findet unter der Voraussetzung statt, dass alles Wasser, dessen Flüssigkeit nicht zur Beschleunigung des strömenden Wassers erforderlich ist, oberhalb der drei Körper gefriere, wie ich dies in §. 49, Zusatz 7, auseinandergesetzt habe.
§. 54. Lehnsatz. Unter denselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Paragraphen, werden die dort besprochenen Körper gleich stark durch das Wasser, welches längs des Kanals fliesst, gedrückt.
Dies erhellt aus §. 53 und dem 3. Gesetz der Bewegung, denn das Wasser und diese Körper wirken gleich stark aufeinander.
§. 55. Lehnsatz. Befindet sich das Wasser im Kanal in Ruhe, und bewegen sich die Körper mit gleicher Geschwindigkeit in demselben, aber nach entgegengesetzten Richtungen; so sind ihre Widerstände einander gleich.
Dies ergibt sich aus dem vorhergehenden Paragraphen, denn ihre relativen Bewegungen bleiben dieselben unter sich.
§. 56. Anmerkung. £s verhält sich ebenso mit allen convexen und runden Körpern, deren Axen mit der Axe des Kanals zusammenfallen. Es kann einiger Unterschied aus der grösseren oder geringeren Reibung hervorgehen; wir setzen aber in diesen Lehnsätzen voraus, dass die Körper eine vollkommene Politur besitzen, dass die Zähigkeit und Reibung des Mittels Null sei und dass die Theile der Flüssigkeit, welche durch ihre schiefen und nutzlosen Bewegungen den Strom des Wassers durch den Kanal stören, verhindern und verzögern können, unter sich ruhen, als ob sie durch den Frost hart geworden waren, und dass sie an den vorderen und hinteren Enden der Körper so befestigt seien, wie ich im §. 52. gezeigt habe. In den folgenden Sätzen wird der kleinste Widerstand untersucht, welchen runde Körper erleiden können, die durch Umdrehung bei gegebenen Querschnitten entstanden sind.
Körper, welche in Flüssigkeiten schwimmen und sich geradlinig fortbewegen, bewirken, dass die Flüssigkeit an ihrem vorderen Ende sich hebt und am hinteren senkt; besonders wenn jene von abgestumpfter Form sind. Hierdurch erleiden sie einen etwas grösseren Widerstand, als wenn ihre vorderen und hintereren Enden zugespitzt wären. Eben so werden Körper, welche sich in elastischen Flüssigkeiten bewegen, wenn sie an ihren Enden abgestumpft sind, die Flüssigkeit an ihren vorderen Enden etwas verdichten und an den hinteren auflockern; sie werden folglich einen etwas grösseren Widerstand erleiden, als wenn sie an ihren Enden zugespitzt wären. In diesen Lehn- und Lehrsätzen ist von elastischen Flüssigkeiten keine Rede, sondern nur von nicht elastischen; eben so sprechen wir nicht von Körpern, welche auf den Flüssigkeiten schwimmen, sondern nur von solchen, welche ganz darin eingetaucht sind. Kennt man den Widerstand, welchen diese Körper in nicht elastischen Mitteln erleiden, so muss man denselben etwas vergrössern, sowohl in elastischen Flüssigkeiten wie in der Luft, als an den Oberflächen stillstehender Gewässer, wie an denen der Meere und Sümpfe.
§. 57. Lehrsatz. Der Widerstand einer Kugel, welche sich gleichförmig in einem zusammengedrückten, unbegrenzten und nicht elastischen Mittel bewegt, verhält sich zu derjenigen Kraft, durch welche ihre ganze Bewegung erzeugt oder aufgehoben werden könnte, während sie selbst 8/3 ihres Durchmessers zurücklegt, sehr nahe wie die Dichtigkeit des Mittels zu derjenigen der Kugel.
Die Kugel verhält sich nämlich zum umschriebenen Cylinder wie 2 : 3. Folglich wird dieselbe Kraft, welche die ganze Bewegung des Cylinders aufheben kann, während er das Vierfache seiner Axe zurücklegt, die ganze Bewegung der Kugel aufheben können, während sie ⅔ dieser Länge, d. h. 8/3 ihres Durchmessers zurücklegt. Der Widerstand des Cylinders verhält sich nun zu dieser Kraft sehr nahe wie die Dichtigkeit der Flüssigkeit zu seiner eigenen Dichtigkeit und es ist, nach §§. 53, 54 und 55, der Widerstand der Kugel gleich demjenigen des Cylinders. W. z. b. w.
Zusatz 1. Der Widerstand, welchen Kugeln in zusammengedrückten und unbegrenzten Mitteln erleiden, steht in einem Verhältniss, welches aus dem doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit, dem doppelten der Durchmesser und dem einfachen Verhältniss der Dichtigkeit dieser Mittel zusammengesetzt ist.
Zusatz 2. Die grösste Geschwindigkeit, mit welcher eine Kugel vermöge ihres relativen Gewichtes in einem widerstehenden Mittel herabsteigen kann, ist diejenige, welche dieselbe Kugel durch dasselbe Gewicht erlangen kann, wenn sie in einem nicht widerstehenden Mittel freifallend einen Weg beschriebe, der sich zu 4/3 ihres Durchmessers ebenso verhielte, wie die Dichtigkeit der Kugel zu derjenigen des Mittels. Die Kugel würde nämlich in der Zeit, welche sie zu ihrem Falle gebraucht und vermöge der Geschwindigkeit, welche sie durch diesen Fall erlangt, einen Weg beschreiben, der sich zu 8/3 ihres Durchmessers verhielte, wie ihre Dichtigkeit zu der des Mittels. Ferner verhält sich die Kraft des Gewichtes, welche diese Bewegung erzeugt, zu derjenigen Kraft, durch welche dieselbe Bewegung erzeugt werden könnte, während die Kugel mit derselben Geschwindigkeit 8/3 ihres Durchmessers zurücklegte, wie die Dichtigkeit des Mittels zu derjenigen der Kugel. Nach diesem Satze wird daher die Kraft des Gewichtes dem Widerstände gleich sein, folglich die Kugel nicht beschleunigen können.
Zusatz 3. Ist die Dichtigkeit der Kugel und ihre Geschwindigkeit im Anfange der Bewegung gegeben, wie auch die Dichtigkeit des zusammengedrückten und ruhenden Mittels, in welchem die Kugel sich bewegt; so hat man für jede beliebige Zeit ihre Geschwindigkeit, den Widerstand und den beschriebenen Weg, nach §. 47, Zusatz 7.
Zusatz 4 Eine Kugel, welche sich in einem zusammengedrückten, ruhenden und gleich dichten Mittel bewegt, verliert früher die Hälfte ihrer Bewegung, als sie einen zwei Durchmessern gleichen Weg zurücklegt, nach §. 47, Zusatz 7.[13]
§. 58. Lehrsatz. Der Widerstand, welchen eine Kugel erleidet, die gleichförmig in einer, in einem cylindrischen Kanäle eingeschlossenen und zusammengedrückten, Flüssigkeit fortschreitet, steht zu derjenigen Kraft, vermöge welcher ihre ganze Bewegung während der Zeit, wo sie 8/3 ihres Durchmessers zurücklegt, erzeugt oder aufgehoben werden könnte, in einem Verhältniss, welches folgendermassen zusammengesetzt ist:
- aus dem einfachen Verhältniss der Oeffnung des Kanals zum Unterschiede zwischen dieser und der Hälfte eines grössten Kreises der Kugel;
- aus dem doppelten Verhältniss derselben Oeffnung zum Unterschiede zwischen ihr und einem ganzen grössten Kreise der Kugel, und aus dem einfachen Verhältniss der Dichtigkeit des Mittels zu derjenigen der Kugel.
Die Wahrheit dieses Satzes ergiebt sich aus §. 51, Zusatz 2, und der Beweis ist von derselben Art, wie derjenige des vorhergehenden Paragraphen.
§. 59. Anmerkung. In den beiden letzten Paragraphen (wie auch in §. 53) betrachte ich alles der Kugel vorangehende Wasser, dessen Flüssigkeit den zu erleidenden Widerstand vergrössert, als gefroren. Finge dasselbe an zu schmelzen, so würde der Widerstand etwas vergrössert werden; allein diese Vergrösserung wird in diesen Sätzen von geringem Belang sein, und man kann sie vernachlässigen, weil die convexe Oberfläche der Kugel fast dieselben Dienste leistet, als das Eis.
§. 60. Aufgabe. Man soll durch Versuche den Widerstand einer Kugel finden, welche sich in einem zusammengedrückten und sehr flüssigen Mittel bewegt
Es sei A das Gewicht der Kugel im leeren Raume, B dasselbe im widerstehenden Mittel, D ihr Durchmesser, F die Länge, welche sich zu 4/3D verhält, wie die Dichtigkeit der Kugel zu derjenigen des Mittels, d. h. F : 4/3D = A : A — B.
Ferner sei G die Zeit, in welcher die Kugel beim Falle, vermöge des Gewichtes B, ohne Widerstand zu erleiden, den Weg F zurücklegt und H die Geschwindigkeit, welche sie bei ihrem Falle erlangt hat. H wird die grösste Geschwindigkeit sein, mit welcher die Kugel, vermöge ihres Gewichtes B, in einem widerstehenden Mittel fallen kann (nach §. 57., Zusatz 2.) und der Widerstand, welchen die Kugel erleidet, indem sie mit dieser Geschwindigkeit fallt, wird dem Gewichte B gleich. Der Widerstand aber, welchen sie bei irgend einer anderen Geschwindigkeit erleidet, steht zum Gewichte B im doppelten Verhältniss dieser letzteren Geschwindigkeit zur grössten Geschwindigkeit H, nach §. 57, Zusatz 1.
Dies ist derjenige Widerstand, welcher von der Trägheit der flüssigen Materie herrührt; derjenige hingegen, welcher aus der Elasticität, Zähigkeit und der Reibung ihrer Theile entspringt, findet sich folgendermaassen. Es sei eine Kugel sich selbst überlassen, so dass sie durch ihr Gewicht B in der Flüssigkeit fällt, und es sei P die in Secunden ausgedrückte Zeit, welche sie zu ihrem Falle braucht; die frühere Zeit G sei ebenfalls in Secunden verstanden. Ferner sei N eine absolute Zahl, deren Logarithme = 0,4342944819 · und der Logarithme von = L; alsdann ist die im Fallen erlangte Geschwindigkeit = H, und die beschriebene Höhe = — 1,3862943611 · F + 4,605170186 FL. Ist die Flüssigkeit hinreichend tief, so kann man das letzte Glied vernachlässigen und es wird sehr nahe die beschriebene Höhe = — 1,3862943611 · F. Alles dies ergiebt sich nach §. 13 dieses Buches und seinen Zusätzen, indem man voraussetzt, dass die Kugel keine andere Art von Widerstand erleide als den, welcher aus der Trägheit der Materie entspringt.[14] Erlitte sie ausserdem einen anderen Widerstand, so würde sie langsamer herabsteigen, und man würde durch diese Verzögerung die Grösse des letzteren Widerstandes kennen lernen.
Um leichter die Geschwindigkeit und den Weg eines Körpers kennen zu lernen, welcher im leeren Raume fällt, habe ich die folgende Tabelle angefertigt, deren erste Columne die Zeit des Falles darstellt. Die zweite gibt die im Fallen erlangten Geschwindigkeiten an, indem man die grösste = 100000000 = H annimmt. Die dritte stellt den während dieser Zeiten durchlaufenen Weg dar, indem 2F derjenige Weg ist, welchen der Körper in der Zeit G mit der grössten Geschwindigkeit durchläuft. Die vierte Columne enthält die in denselben Zeiten mit der grössten Geschwindigkeit durchlaufenen Wege. Die Zahlen dieser Columne sind die Werthe von und subtrahirt man hiervon die Zahl 1,3862944 — 4,60517021L, so erhält man die Zahlen der dritten Columne, welche man mit dem Wege F multipliciren muss, um die im Fallen beschriebenen Wege zu erhalten.
Ich habe eine fünfte Columne hinzugefügt, welche die in denselben Zeiten vom Körper durchlaufenen Wege enthält, wenn er im leeren Raume vermöge seines relativen Gewichtes B gefallen wäre.
| Zeiten P | des in der Flüssigkeit fallenden Körpers H |
der Flüssigkeit beschriebenen Wege. — 1,386 · F + 4,605 LF |
grösste Bewegung beschriebenen Wege |
leeren Raum beschriebenen Wege F · |
| 0,001 G 0,01 „ 0,1 „ 0,2 „ 0,3 „ 0,4 „ 0,5 „ 0,6 „ 0,7 „ 0,8 „ 0,9 „ 1 „ c „ 3 „ 4 „ 5 „ 6 „ 7 „ 8 „ 9 „ 10 |
99999,58 999967 9966799 19737532 29131261 37994896 46211716 53704957 60436778 66403677 71629787 76159416 96402758 99605475 99932930 99990920 99998771 99999834 99999980 99999997 99999999,6 |
0,000001 F 0,0001 „ 0,0099834 „ 0,0397361 „ 0,0886815 „ 0,1559070 „ 0,2402290 „ 0,3402706 „ 0,4545405 „ 0,5815071 „ 0,7196609 „ 0,8675617 „ 2,6500055 „ 4,6186670 „ 6,6143765 „ 8,6137964 „ 10,6137179 „ 12,6137073 „ 14,6137059 „ 16,6137057 „ 18,6137056 „ |
0,002 · F „ 0,02 „ 0,2 „ 0,4 „ 0,6 „ 0,8 „ 1,0 „ 1,2 „ 1,4 „ 1,6 „ 1,8 „ 2 „ 4 „ 6 „ 8 „ 10 „ 12 „ 14 „ 16 „ 18 „ 20 „ |
0,000001 · F „ 0,0001 „ 0,01 „ 0,04 „ 0,09 „ 0,16 „ 0,26 „ 0,36 „ 0,49 „ 0,64 „ 0,81 „ 1 „ 4 „ 9 „ 16 „ 25 „ 36 „ 49 „ 64 „ 81 „ 100 „ |
§. 61. Anmerkung. Um durch Versuche den Widerstand der Flüssigkeiten finden zu können, verfertigte ich ein viereckiges Gefäss von Holz, welches inwendig 9 englische Zoll lang und breit und 9½ Fuss tief war und füllte es mit Regenwasser an. Nachdem ich nun Kugeln von Wachs angefertigt hatte, welche in ihrem Innern Blei enthielten, notirte ich die Zeiten, welche diese Kugeln gebrauchten, um von einer Hohe von 112 Zoll herabzufallen.
Der Cubikfuss Regenwasser wiegt 76 Pfund Römisch und 1 Cubikzoll 19/36 Unzen = 253⅓ Gran. Eine Kugel von 1 Zoll im Durchmesser wiegt 132,645 Gran in der Luft, oder 132,8 Gran im leeren Raume, und eine andere beliebige Kugel verhält sich, wie der Unterschied ihres Gewichts im leeren Räume und im Wasser.[15]
1. Versuch. Eine Kugel, welche in der Luft 156¼ und im Wasser 77 Gran wiegt, brauchte 4 Secunden, um aus einer Höhe von 112 Zoll herabzufallen. Ein wiederholter Versuch ergab dasselbe Resultat
Das Gewicht dieser Kugel beträgt im leeren Raume 15613/38 Gran, und der Ueberschuss desselben über ihr Gewicht im Wasser beträgt 7913/38 Gran, woraus man ihren Durchmesser = 0,84224 Zoll findet.[16] Derselbe Ueberschuss verhält sich zum Gewicht der Kugel im leeren Raume, wie die Dichtigkeit des Wassers zur Dichtigkeit der Kugel und eben so verhalten sich 8/3 des Durchmessers (d. h. 2,24597 Zoll) zum Wege 2F; es wird also 2F = 4,4256 Zoll. Die Kugel durchläuft in Zeit vom 1 Secunde 193⅓ Zoll, wenn sie im leeren Raume vermöge der Kraft ihres ganzen Gewichtes von 15613/38 Gran fallt. Durch ihr Gewicht im Wasser, welches 77 Gran beträgt, durchläuft sie während derselben Zeit im Wasser 95,219 Zoll, wenn sie darin fällt, ohne Widerstand zu erleiden. In der Zeit G, welche sich zu 1 Secunde verhält, wie , wird sie den Weg F = 2,2128 Zoll durchlaufen, und die Geschwindigkeit H erlangen, die grösste, womit sie im Wasser fallen kann. Nun ist G = 0,15244 Secunde, in welcher Zeit die Kugel mit der grössten Geschwindigkeit H den Weg 2F = 4,4256 Zoll zurücklegen und in 4 Secunden einen Weg von 116,1245 Zoll durchlaufen würde. Subtrahirt man hiervon den Weg 1,3862944 · F = 3,0676 Zoll, so bleibt der Weg 113,0569 Zoll übrig, welchen die Kugel in 4 Secunden beschreiben wird, wenn sie in einem grossen Gefässe voll Wassers fallt. Dieser Weg muss wegen der geringen Breite des Gefässes, wovon ich gesprochen habe, in einem Verhältniss vermindert werden, welches aus dem halben Verhältniss der Oeffnung des Gefässes zum Unterschiede zwischen der Oeffnung und dem halben grössten Kreise der Kugel und dem einfachen ganzen Verhältniss der Oeffnung zum Unterschiede zwischen ihr und dem grössten Kreise der Kugel zusammengesetzt ist, d. h. im Verhältniss 1 : 0,9914.
Nachdem dies geschehen ist, erhält man den Weg 112,08 Zoll, welchen die Kugel sehr nahe nach der Theorie in 4 Secunden hätte zurücklegen sollen, indem sie in dem mit Wasser angefüllten Gefässe herabfiel. Nach dem Versuche legte sie 112 Zoll zurück.[17]
2. Versuch. Drei gleiche Kugeln, deren jede in der Luft 76⅓ und im Wasser 51/16 Gran wog, wurden eine hinter der anderen im Wasser sich selbst überlassen und durchliefen bei ihrem Falle einen Weg von 112 Zoll in 15 Secunden. Stellt man die Rechnung an, so findet man das Gewicht einer jeden Kugel im leeren Raume = 765/12 Gran und den Ueberschuss des letzteren über ihr Gewicht im Wasser 7117/48 Gran. Der Durchmesser der Kugeln ergibt sich = 0,81296 Zoll und 8/3 desselben = 2,16789, so wie 2F = 2,3217 Zoll. Ferner ergab sich der Weg, welchen die fallende Kugel in 1 Secunde zurückgelegt haben würde, wenn sie, ohne Widerstand zu erleiden, vermöge ihres Gewichtes von 51/16 Gran gefallen wäre, = 12,808 Zoll und die Zeit G = 0,301056 Secunde.
Die Kugel wird also mit der grössten Geschwindigkeit, mit welcher sie im Wasser vermöge ihres Gewichtes von 51/16 Gran, während 0,301056 Secunde durch einen Weg von 2,3217 Zoll herabsteigen könnte, während 15 Secunden einen Weg von 115,678 Zoll zurücklegen. Subtrahirt man hiervon 1,3862944 · F = 1,609 Zoll; so bleiben übrig 114,069 Zoll, welche die Kugel während derselben Zeit, in einem grösseren Gefässe hätte zurücklegen müssen. Wegen der geringeren Weite unseres Gefässes muss man nämlich ungefähr 0,895 Zoll abziehen, und es bleibt so ein Weg von 113,174 Zoll übrig, welchen ungefähr die Kugel, der Theorie entsprechend, in 15 Secunden hätte zurücklegen sollen, wogegen sie beim Versuche 112 Zoll wirklich durchzulaufen hat. Der Unterschied ist unmerklich.
3. Versuch. Drei gleiche Kugeln, jede in der Luft 121 und im Wasser 1 Gran wiegend, wurden nach und nach sich selbst überlassen und legten bei ihrem Fall im Wasser einen Weg von 113 Zoll, in den bezüglichen Zeiten von 46, 47 und 50 Secunden zurück.
Der Theorie zufolge hätten sie diesen Weg ungefähr in 40 Secunden zurücklegen sollen; warum fielen sie langsamer? Vielleicht muss man es dem Umstande zuschreiben, dass bei langsamen Bewegungen das Verhältniss des aus der Kraft der Trägheit entspringenden Widerstandes zu demjenigen, welcher aus anderen Ursachen entspringt, kleiner ist. Vielleicht muss man es kleinen Blasen zuschreiben, welche sich an die Kugel hängen, oder auch der Verdünnung des Wachses, die entweder durch die Wärme der Hand oder durch die der Luft herbeigeführt wurde, oder endlich einigen unmerklichen Fehlern, welche ich beging, als ich die Kugeln im Wasser abwog. Ich weiss nicht, an welche dieser Ursachen ich mich halten soll und schliesse daher aus diesem Versuche, dass man bei dergleichen Experimenten Kugeln von mehreren Granen Gewicht im Wasser anwenden muss, um ein zuverlässiges und glaubwürdiges Resultat zu erhalten.
4. Versuch. Die vorherbeschriebenen Versuche habe ich angestellt, um den Widerstand der Flüssigkeiten zu entdecken, bevor ich die in den zunächst vorhergehenden Paragraphen auseinandergesetzte Theorie kannte. Hierauf verfertigte ich, um die letztere zu prüfen, einen hölzernen Kasten, welcher im Lichten 8⅔ Zoll breit und 15⅓ Fuss tief war, und bereitete 4 aus Wachs und Blei, letzteres im Innern derselben, zusammengesetzte Kugeln. Jede derselben wog in der Luft 139¼, im Wasser 71/8 Gran. Ich liess sie so fallen, dass ich mittelst einer Halbsecunden-Pendeluhr die Zeit bemerken konnte, welche sie zu ihrem Falle im Wasser brauchten. Als ich sie wog und fallen liess, hatte ich dafür gesorgt, dass sie bereits einige Zeit erkaltet waren; weil die Wärme das Wachs auflockert und diese Auflockerung sein Gewicht im Wasser vermindert, wie auch weil das durch die Wärme aufgelockerte Wachs nicht in demselben Augenblick, wo es erkaltet, zu seiner früheren Dichtigkeit zurückkehrt. Die Kugeln wurden ganz in’s Wasser eingetaucht, ehe ich sie fallen liess, aus Furcht, dass das Gewicht des nicht eingetauchten Theiles ihren Fall im ersten Augenblick beschleunigen möchte. Waren sie nun ganz eingetaucht und in Ruhe, so liess ich sie mit vieler Sorgfalt fallen, damit meine Hand ihnen keinen Stoss mittheilte. Sie legten nacheinander bei ihrem Falle, in den Zeiten von 47½, 48½, 50 und 51 Schwingungen eine Höhe von 15 Fuss 2 Zoll zurück. Bei etwas kälterem Wetter als zu der Zeit, wo ich das Gewicht der Kugeln bestimmt hatte, wiederholte ich die Versuche an einem anderen Tage, und sie brauchten zu ihrem Falle 49, 49½, 50 und 53 Schwingungen, und bei einem dritten Versuche 49½, 50, 51, und 53 Schwingungen. Nachdem ich endlich den Versuch sehr oft wiederholt hatte, erforderten sie meistens 49½ und 50 Schwingungen. Im Fall die Dauer grösser war, fand vermuthlich durch einen Stoss gegen die Wände des Gefässes eine Verzögerung statt.
Stellt man eine Rechnung nach der Theorie an, so findet man das Gewicht der Kugel im leeren Raume = 1392/5 Gran, den Durchmesser = 0,99868 Zoll und daher 8/3 desselben = 2,66315 Zoll. Der Weg 2F wird = 2,8066 Zoll und der Weg, welchen die 71/8 Gran wiegende Kugel bei ihrem Falle ohne Widerstand in 1 Secunde zurücklegen würde, = 9,88164 Zoll, so wie die Zeit G = 0,376843 Secunde. Die Kugel legt demnach mit der grössten Geschwindigkeit, mit welcher sie vermöge ihres Gewichtes im Wasser fallen könnte, in 0,376848 Secunde einen Weg von 2,8066 Zoll, in 1 Secunde 7,44766 Zoll und in 25 Secunden oder 50 Schwingungen einen Weg von 186,1915 Zoll zurück. Subtrahirt man hiervon 1,386294 · F = 1,9454 Zoll, so bleibt übrig 184,2461 Zoll, welchen Weg die Kugel während derselben Zeit in einem sehr weiten Gefässe zurücklegen würde.
Wegen der geringen Weite des von mir angewandten Gefässes muss man diesen Weg in einem Verhältniss vermindern, welches aus dem halben Verhältniss der Oeffnung des Gefässes zum Unterschied zwischen ihr und dem halben grössten Kreise der Kugel, und dem einfachen Verhältniss derselben Oeffnung zum Unterschiede zwischen ihr und dem ganzen grössten Kreise der Kugel zusammengesetzt ist. Man erhält so die Höhe 181,86 Zoll, welche die Kugeln sehr nahe nach der Theorie während 50 Schwingungen im Gefäss hätte zurücklegen sollen. Sie fielen wirklich durch ungefähr 182 Zoll während 49½ und 50 Schwingungen.
5. Versuch. Vier Kugeln, deren jede in der Luft 1543/8 und im Wasser 21½ Gran wog, wurden mehrmals hineingeworfen und legten einen Weg von 15 Fuss 2 Zoll in 28½, 29, 29½ und 30, bisweilen aber während 31, 32 und 33 Schwingungen zurück.
Nach der Theorie wären ungefähr 29 Schwingungen erforderlich gewesen.
6. Versuch. Fünf Kugeln, jede in der Luft 2133/8 und im Wasser 79½ Gran wiegend, legten mehrmals eine Höhe von 15 Fuss 2 Zoll während 15, 15½, 16, 17 und 18 Schwingungen zurück.
Nach der Theorie hätten sie beiläufig 15 gebraucht.
7. Versuch. Vier Kugeln, jede in der Luft 2933/8, im Wasser 357/8 Gran wiegend, legten bei mehrmaligem Versuche eine Höhe von 15 Fuss 1,5 Zoll während 29½, 30, 30½, 31, 32 und 33 Schwingungen zurück.
Die Theorie ergiebt ungefähr 28.
Indem ich nach der Ursache forschte, warum von mehreren an Gewicht und Grösse gleichen Kugeln einige schneller, andere langsamer fielen, fand ich folgendes. Diese Kugeln drehten sich im ersten Augenblick, wo sie sich selbst überlassen worden und zu fallen anfingen, um ihre Mittelpunkte, weil diejenige ihrer Seiten, welche vielleicht ein wenig schwerer war, zuerst herabfiel und eine drehende Bewegung verursachte. Die Kugel muss nämlich bei einer drehenden Bewegung dem Wasser mehr Bewegung mittheilen, als wenn sie, ohne sich zu drehen, herabsänke; und indem diese Mittheilung stattfindet, verliert sie einen Theil ihrer eigenen Bewegung, durch welche ihr Sinken bewirkt werden soll. Sie muss daher eine grössere oder kleinere Verzögerung erleiden, je nachdem sie grössere oder kleinere Schwingungen macht. Ferner entfernt sich die Kugel stets von derjenigen Seite, an welcher die Drehung beginnt, hierdurch nähert sie sich den Wänden des Gefässes und kann bisweilen gegen dieselben stossen. Die Drehung ist stärker bei schwereren Kugeln, und diese theilen daher dem Wasser mehr Bewegung mit. Um diese Drehungen zu vermindern, verfertigte ich neue Kugeln, welche ebenfalls aus Wachs und Blei zusammengesetzt waren, und brachte das letztere an einer Seite der Kugel, der Oberfläche nahe an. Hierauf liess ich die Kugel, so weit es möglich war, dergestalt fallen, dass beim Anfange der Bewegung die schwerste Seite sich am tiefsten befand. Auf diese Weise worden die Schwingungen viel kleiner als vorhin, und die Kugeln fielen in weit weniger ungleichen Zeiträumen, wie man aus den folgenden Versuchen ersieht.
8. Versuch. Vier Kugeln, von denen jede in der Luft 139 und im Wasser 6½ Gran wog, wurden wiederholt sich selbst überlassen, und legten nach einer Anzahl Schwingungen, welche stets zwischen 50 und 52 lag und meistens sehr nahe = 51 war, eine Höhe von 182 Zoll zurück.
Die Theorie erfordert ungefähr 52 Schwingungen.
9. Versuch. Bei mehrmaligem Versuch mit 4 Kugeln, deren jede in der Luft 273¼ und im Wasser 140¾ Gran wog, fielen sie durch eine Höhe von 182 Zoll in Zeit von einer Anzahl Schwingungen, welche stets zwischen 12 und 13 lag.
Die Theorie ergibt ungefähr 11⅓.
10. Versuch. Denselben Versuch stellte ich mehrmals mit 4 Kugeln an, deren jede in der Luft 384 und im Wasser 119½ Gran wog. Sie brauchten, um eine Höhe von 181¾ Zoll zurückzulegen, an Zeit 17¾, 18, 18½ und 19 Schwingungen. Bei diesem letzten Versuche hörte ich bisweilen die Schläge, welche sie gegen die Wände des Gefässes ausübten, ehe sie zu Boden fielen.
Nach der Theorie werden etwa 155/9 Schwingungen erfordert.
11. Versuch. Bei mehrmaligem Versuch brauchten drei Kugeln, deren jede in der Luft 48 und im Wasser 329/32 Gran wog, 43½, 44, 44½, 45 und 46 Schwingungen, am häufigsten aber 44 und 45, um eine Höhe von ungefähr 182½ Zoll zurückzulegen.
Die Theorie ergibt 465/9 Schwingungen.
12. Versuch. Drei gleiche Kugeln, deren jede in der Luft 141 und im Wasser 43/8 Gran wog, erforderten bei mehrmaligem Versuche 61, 62, 63, 64 und 65 Schwingungen, um einen Weg von 182 Zoll zurückzulegen.
Nach der Theorie hätten sie etwa 64½ Schwingungen gebraucht.
Aus diesen Versuchen ergibt sich klar, dass, wenn die Kugeln langsamer fielen, wie in dem 2., 4., 5., 8., 11. und 12. Versuch, die Zeiten ihres Falles hinreichend mit denen der Theorie übereinstimmten; dass hingegen, wenn sie schneller fielen, wie im 6., 9. und 10. Versuch, der von ihnen erlittene Widerstand in einem etwas grösseren, als dem doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten stand. Sie oscillirten nämlich ein wenig im Fallen, und diese Oscillationen hören bald bei leisten Kugeln auf, welche wegen ihrer geringen Bewegung langsam fallen; in grösseren und schwereren Kugeln währen sie hingegen länger fort, weil die Bewegung mehr Kraft besitzt, und diese schwingende Bewegung durch das, die Kugel umgebende, Wasser nicht früher aufgehoben werden kann als bis der Körper mehrere Schwingungen gemacht hat. Es kann sich auch noch ereignen, dass die Kugeln, je grösser ihre Geschwindigkeit ist, durch das Wasser einen desto geringeren Druck an ihren hinteren Theilen erleiden. Vergrösserte man die Geschwindigkeit beständig, so würden sie endlich einen leeren Raum hinter sich lassen, im Fall man nicht zu gleicher Zeit die Flüssigkeit stärker comprimirte. Nun muss (§§. 43 und 44) die Zusammendrückung im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit zunehmen, damit der Widerstand in demselben doppelten Verhältniss stehe. Da dies aber nicht geschieht, so werden die geschwinderen Kugeln einen etwas schwächeren Druck an ihren hinteren Theilen erleiden, und es bewirkt der Mangel dieses Druckes, dass der von ihnen erlittene Widerstand in einem etwas grösseren Verhältniss, als dem doppelten der Geschwindigkeit steht.
Die Theorie stimmt also mit den Erscheinungen der im Wasser fallenden Körper überein; wir müssen noch untersuchen, was mit den in der Luft fallenden Körpern geschieht.
13. Versuch. Von der Spitze der St. Paulskirche zu London liess man im Juni 1710 zu gleicher Zeit zwei Glaskugeln fallen, von denen die eine voll Quecksilber, die andere voll Luft war. Sie legten bei ihrem Falle einen Weg von 220 englischen Fussen zurück. Eine hölzerne Tafel war an einer Kante mittelst eiserner Zapfen befestigt, mit der anderen Kante stützte sie sich auf einen hölzernen Riegel. Beide Kugeln wurden auf sie gelegt, und fielen gleichzeitig erdwärts, indem der Riegel mittelst eines bis zur Erde herabgehenden Eisendrahtes fortgezogen wurde. Es klappte hierauf die, allein durch ihre Zapfen gehaltene Tafel um, und in demselben Augenblick wurde mittelst des Drahtes eine Secunden-Pendeluhr in Bewegung gesetzt und zum Schwingen gebracht. Durchmesser und Gewicht der Kugeln wie auch die Zeiten waren so, wie sie in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.
| Gewicht. | Durchmesser. | Zeiten des Falles. | Gewicht. | Durchmesser. | Zeiten des Falles. |
| 908 Gran 983 „ 866 „ 747 „ 808 „ 784 „ |
0,8 Zoll 0,8 „ 0,8 „ 0,75 „ 0,75 „ 0,75 „ |
4 Secunden 4 — „ 4 „ 4 + „ 4 „ 4 + „ |
510 Gran 642 „ 599 „ 515 „ 483 „ 641 „ |
5,1 Zoll 5,2 „ 5,1 „ 5,0 „ 5,0 „ 5,2 „ |
8½ Secund. 8 „ 8 „ 8¼ „ 8½ „ 8 „ |
Uebrigens müssen die Zeiten des Falles, welche wir bei diesen Versuchen beobachtet haben, verbessert werden. Die Kugeln voll Quecksilber hätten (nach Galilei) in 4 Secunden 257 Fuss zurücklegen sollen, legten aber nur 220 Fuss in 3 Secunden 42 Tertien zurück. Die hölzerne Tafel musste also wohl einige Zeit brauchen, um umzuklappen; wenn man den Riegel fortzog. Hierdurch verhinderte sie beim Anfange den Fall der Kugeln. Diese befanden sich nämlich ungefähr in der Mitte der Tafel, aber ihrer Axe etwas näher, als dem Riegel. Hierdurch wurde die Zeit des Falles um etwa 18 Tertien verlängert, welche man von den obigen Zeiten abziehen muss. Besonders ist diese Correction bei den grösseren Kugeln erforderlich, welche wegen ihrer grösseren Durchmesser etwas länger auf der umklappenden Tafel blieben. Nach Anbringung dieser Correction waren die Zeiten, in denen die sechs grösseren Kugeln herabfielen:
| 8 7 7 7 8 7 |
Secunden „ „ „ „ „ |
12 42 42 57 12 42 |
Tertien „ „ „ „ „ |
Die fünfte der mit Luft angefüllten Kugeln hatte 5 Zoll im Durchmesser, ihr Gewicht betrug 483 Gran und sie brauchte 8 Secunden 12 Tertien, um 220 Fuss zu durchfallen. Das Gewicht einer ihr gleichen Wasserkugel beträgt 16600 Gran und das einer ihr gleichen Luftkugel 16600/860 = 193/10 Gran. Das Gewicht der genannten Kugel im leeren Raume beträgt daher (483 + 193/10) = 502,3 Gran, und dasselbe verhält sich zu dem Gewicht einer Luftkugel von gleichem Volumen, wie 502,3 : 19,3. In demselben Verhältniss steht 2F zu 8/3 des Durchmessers oder es ist 2F : 13⅓ = 502,3 : 19,3, woraus 2F = 28 Fuss 11 Zoll folgt. Diese Kugel würde wenn sie vermöge ihres ganzen Gewichts von 502,3 Gran im leeren Raume fiele, in 1 Secunde 193⅓ früher zurücklegen, und mit einem Gewicht von 483 Gran 185,905 Zoll.
Mit demselben würde sie im leeren Raume den Weg F = 14 Fuss 5,5 Zoll in 57 Tertien 58 Quatertien zurücklegen, und in dieser Zeit die grösste Geschwindigkeit erlangen, mit welcher sie in der Luft herabsteigen steigen kann. Mit dieser Geschwindigkeit würde die Kugel in 8 Secunden 12 Tertien einen Weg von 245 Fuss 5⅓ Zoll zurücklegen. Subtrahirt man hiervon 1,3863 · F = 20 Fuss 0,5 Zoll, so bleiben 225 Fuss 5 Zoll, welche die Kugel nach der Theorie während 8 Secunden 12 Tertien hätte durchlaufen sollen. Sie durchlief dem Versuche zufolge 220 Fuss, und der Unterschied ist daher nicht bedeutend. Indem ich eine, der bisherigen ähnliche, Rechnung mit den übrigen Kugeln anstellte, erhielt ich die folgende Tabelle:
der Kugeln. |
derselben. |
Durchlaufung von 120 Fuss gebraucht. |
Theorie durchfallen. |
Rechnung — Beobachtung. | |||
| 510 Gran 642 „ 599 „ 515 „ 488 „ 641 „ |
5,1 Zoll 5,2 „ 5,1 „ 5,0 „ 5,0 „ 5,2 „ |
8 Sec. 7 „ 7 „ 7 „ 8 „ 7 „ |
12 Tertien 42 „ 42 „ 57 „ 12 „ 42 „ |
226 Fuss 230 „ 227 „ 224 „ 225 „ 230 „ |
11 Zoll 9 „ 10 „ 5 „ 5 „ 7 „ |
6 Fuss 10 „ 7 „ 4 „ 5 „ 10 „ |
11 Zoll 9 „ 10 „ 5 „ 5 „ 7 „ |
14. Versuch. Im Juni 1719, fing Dr. Desanguliers diese Versuche folgendermaassen auf’s neue zu machen an. Er gab mehreren Schweineblasen, mittelst einer hölzernen Hohlkugel, eine sphärische Form und blies, nachdem sie feucht gemacht waren, Luft in dieselben, wodurch sie gezwungen wurden, die ganze Höhlung dieser Kugel auszufüllen. Nachdem sie hierauf trocken geworden waren und er die sie umgebenden Hölzer fortgenommen hatte, liess er sie von einer Stelle herabfallen, welche man auf der Spitze der gewölbten Rotunde in der Kirche hierzu eingerichtet hatte. Sie fielen auf diese Weise aus einer Höhe von 272 Fuss herab, und zu gleicher Zeit liess er etwa 2 Pfund schwere Bleikugeln herabfallen. Während dieser Zeit waren auf der Spitze der Kirche, von wo man die Kugeln fallen liess, Personen aufgestellt, welche die Zeit beobachteten, die während ihres Falles verstrich. Andere Personen standen auf dem Pflaster der Kirche, um den Unterschied zu beobachten, welche zwischen den Fallzeiten der Blase und der Bleikugel stattfand. Diese Unterschiede wurden durch die Schläge einer Halbsecunden-Pendeluhr gemessen. Eine der unten befindlichen Personen hatte eine Spiraluhr, welche Viertelsecunden angab, und eine andere hatte eine künstliche Maschine verfertigt, an welcher ein Viertelsecunden-Pendel angebracht war. Eine ähnliche Maschine hatte eine der oben befindlichen Personen. Diese Instrumente waren so eingerichtet, dass ihre Bewegungen beliebig begannen und endeten, sobald man es wünschte. Die Bleikugel brauchte zu ihrem Falle sehr nahe 4¼ Secunden. Addirt man hierzu die erwähnten Unterschiede, so erhält man den Zeitraum, welchen die Blase zu ihrem Falle brauchte. Die Zeiten, in denen fünf Blasen herabfielen, über die Fallzeit der Kugel waren:
| beim | ersten | Male | 14¾, | 12¾, | 145/8, | 17¾, | 167/8 | Secunden, |
| „ | zweiten | „ | 14½, | 14¼, | 14, | 19, | 16¾ | „ |
Addirt man hierzu die 4¼ Secunden, welche die Kugel zu ihrem Falle brauchte, so erhält man die ganzen Zeiten, welche die Blasen zu ihrem Falle brauchten, nämlich
| beim | ersten | Male | 19, | 17, | 187/8, | 22, | 211/8 | Secunden, |
| „ | zweiten | „ | 18¾, | 18½, | 18¼, | 23¼, | 21 | „ |
Die von den oben befindlichen Personen beobachteten Zeiten waren
| beim | ersten | Male | 193/8, | 17¼, | 18¾, | 221/8, | 215/8 | Secunden, |
| „ | zweiten | „ | 19, | 185/8, | 183/8, | 24, | 21¼ | „ |
Uebrigens fielen die Blasen nicht immer in gerader Linie herab, und bisweilen schlugen sie um und oscillirten von einer Seite zur anderen wodurch ihre Fallzeit bisweilen um ½ Secunde, bald um 1 Secunde verbessert wurde. Die zweite und vierte Blase fielen beim ersten, die erste und dritte beim zweiten. Male am meisten in gerader Linie. Die fünfte Blase war faltig, und diese Falten verzögerten etwas ihren Fall. Ich leitete den Durchmesser der Blasen aus ihrem Umfange her, welchen ich mittelst eines um sie gelegten Fadens maass. Ich verglich die Theorie mit der Erfahrung in der folgenden Tabelle, indem ich die Dichtigkeit der Luft zu der des Regenwassers im Verhältniss 1 : 860 annahm, und die Wege berechnete, welche die Kugeln bei ihrem Falle nach der Theorie hätten zurücklegen sollen.
| Gewicht der Blasen. |
Durchmesser derselben. |
Fallzeit durch 272 Fuss |
Wege, während dieser Zeiten nach der Theorie zurückzulegen. |
Unterschied, Rechnung — Beobachtung. | ||
| 128 Gran 156 „ 137½ „ 97½ „ 991/8 |
5,28 Zoll 5,19 „ 5,3 „ 5,26 „ 5,0 „ |
19 Secunden 17 „ 18½ „ 22 „ 221/8 „ |
271 Fuss 272 „ 272 „ 277 „ 282 „ |
11 Zoll „ 0,5 „ 7 „ 4 „ 0 „ |
— 0 Fuss + 0 „ + 0 „ + 5 „ + 10 „ |
1 Zoll 0,5 „ 7 „ 4 „ 0 „ |
Unsere Theorie bestimmt also fast genau den ganzen Widerstand, welchen die sowohl im Wasser, als in der Luft sich bewegenden Kugeln zu erleiden haben, und dieser Widerstand ist, wenn die Geschwindigkeiten und Grössen der Kugeln gleich sind, der Dichtigkeit der Flüssigkeit proportional. In der Anmerkung zum Abschnitt VI. habe ich durch Pendelversuche gezeigt, dass gleiche Kugeln, welche sich in der Luft, im Wasser und im Quecksilber mit gleichen Geschwindigkeiten bewegen, einen der Dichtigkeit der Flüssigkeiten proportionalen Widerstand erleiden. Hier habe ich es aber genauer durch Versuche mit Körpern dargethan, welche in der Luft und im Wasser fielen. Die Pendel erregen nämlich bei jeder Schwingung in der Flüssigkeit eine Bewegung, welche stets eine dem zurückkehrenden Pendel entgegengesetzte Richtung hat, und sowohl der von dieser Bewegung herrührende Widerstand, als auch derjenige, welchen der Faden des Pendels hervorbringt, bewirken, dass dasselbe einen grösseren Widerstand erleidet, als derjenige, welchen die Versuche mit fallenden Körpern ergeben haben. Nach den in jener Anmerkung aufgeführten Pendel-Versuchen sollte nämlich eine Kugel von derselben Dichtigkeit, welche das Wasser hat, 1/3342 ihrer Bewegung verlieren, während sie in der Luft die Hälfte ihres Durchmessers zurücklegte. Nach der in diesem Abschnitt VII. aufgestellten Theorie, welche durch Versuche mit fallenden Körpern bestätigt wird, würde dieselbe Kugel, während sie denselben Weg zurücklegt, nur 1/4586 ihrer Bewegung verlieren. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Dichtigkeit des Wassers zu derjenigen der Luft sich verhalte, wie 860 : 1. Bei den Pendelversuchen waren also die Widerstände grösser (aus den vorhin besprochenen Gründen), als bei den Versuchen mit fallenden Kugeln, und zwar ungefähr im Verhältniss 4 : 3. Da nun die Widerstände, welche Pendel erleiden, wenn sie in der Luft, im Wasser und im Quecksilber schwingen, auf dieselbe Weise durch ähnliche Ursachen vergrössert werden; so ist das Verhältniss der Widerstände in diesen Bütteln hinreichend genau, sowohl durch Pendelversuche, als durch Versuche mit fallenden Körpern gegeben. Man kann daraus schliessen, dass die Widerstände, welche Körper bei ihrer Bewegung in beliebigen sehr lockeren Mitteln erleiden, unter übrigens gleichen Umständen, den Dichtigkeiten der Mittel proportional sind. Dies vorausgesetzt, kann man jetzt bestimmen, welchen Theil der Bewegung eine beliebige Kugel, die man in einer beliebigen Flüssigkeit fortwirft, während einer gegebenen Zeit ungefähr verlieren wird. D sei der Durchmesser der Kugel, V ihre Geschwindigkeit beim Anfang der Bewegung und T die Zeit, in welcher sie im leeren Räume mit der Geschwindigkeit V einen Weg beschreiben wird, der sich zu 8/3D verhält, wie die Dichtigkeit der Kugel zu derjenigen des Mittels. Wird die Kugel in dieser Flüssigkeit fortgeworfen, so verliert sie in einer beliebigen anderen Zeit t den Theil von ihrer Geschwindigkeit, und behält noch übrig den Theil . Ferner beschreibt sie einen Weg, welcher sich zu demjenigen, den sie im leeren Räume während derselben Zeit und mit der gleichförmig angenommenen Geschwindigkeit V beschreiben würde, verhält wie 2,302585093 log. (nach §. 47, Zusatz 7.). Bei langsamen Bewegungen kann der Widerstand etwas kleiner sein, weil die Kugelform sich besser zur Bewegung eignet, als die Gestalt eines, über demselben Durchmesser construirten Cylinders. Bei schnelleren Bewegungen hingegen kann der Widerstand etwas grosser sein, weil die Elasticität und die Zusammendrückung der Flüssigkeiten nicht in dem doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten wachsen. Ich nehme aber keine Rücksicht auf diese Kleinigkeiten.
Würden selbst die Luft, das Wasser, das Quecksilber und andere ähnliche Flüssigkeiten bis in’s Unendliche verdünnt, und bildeten sie so unendlich flüssige Mittel; so würden sie dessfaalb nicht weniger den geworfenen Kugeln widerstehen. Der in den vorhergehenden Paragraphen besprochene Widerstand entspringt nämlich aus der Trägheit der Materie, und diese Trägheit ist den Körpern eigenthümlich und stets der Menge ihrer Materie proportional. Man kann in der That durch die Zertheilung denjenigen Widerstand vermindern, welcher aus der Zähigkeit und Reibung ihrer Theile entspringt; allein diese Zertheilung vermindert keinesweges die Menge der Materie und bleibt diese unverändert, so bleibt es auch die Kraft der Trägheit, welcher der hier besprochene Widerstand stets proportional ist. Damit dieser kleiner werde, muss man also die Menge der Materie in den Räumen vermindern, in denen die Körper sich bewegen. Aus diesem Grunde müssen die Himmelsräume, in denen die Kugeln der Planeten und Kometen sich unaufhörlich, in jedem Sinne frei und ohne bemerkbare Verminderung ihrer Geschwindigkeit bewegen, von jeder körperlichen Flüssigkeit frei sein; ausgenommen vielleicht einige sehr leichte Dünste und die durch sie gehenden Lichtstrahlen.
Die Projectile erregen also eine Bewegung in den Flüssigkeiten, in denen sie sich bewegen, und diese Bewegung entspringt aus dem Ueberschuss des Druckes der Flüssigkeit gegen die vorderen Theile des Projectils über denjenigen Druck, welchen seine hinteren Theile erleiden. Er kann ferner nicht geringer in unendlich flüssigen Mitteln sein, als in der Luft, im Wasser und Quecksilber, nach Verhältniss der Dichtigkeit der Materie, welche jedes enthält. Dieser Ueberschuss des Druckes erregt aber, nicht nur nach Verhältniss seiner Grösse, eine Bewegung der Flüssigkeit, sondern er wirkt auch auf das Projectil, um seine Bewegung zu verzögern. Daher ist der Widerstand in jeder Flüssigkeit der, durch das Projectil in derselben erregten, Bewegung proportional, und er kann nicht geringer im feinsten Aether, nach Verhältniss seiner Dichtigkeit sein, als in der Luft, im Wasser und im Quecksilber, nach Verhältniss der Dichtigkeit dieser Flüssigkeiten.
Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]
[Bearbeiten]- ↑ [608] No. 166. S. 319. Ist die Geschwindigkeit = c, der Abstand der Theilchen = r, die Quantität der Materie = q, der Durchmesser = d, die Dichtigkeit = Δ und sind n, n', n", n'" constante Zahlen; so ist der Widerstand R = n . Da nun r = n' · d; q = n"Δd³, so wird R = n · = n"' · c² · d² ·Δ.
- ↑ [608] No. 167. S. 320. Bezeichnen d, e, f, g respective die Widerstände, welche die Körper D, E, F, G erleiden, so ist d : e = T : V; f : g = T : V, also d : f = e : g.
- ↑ [608] No. 168. S. 322. Drückt man die Intensität der Kraft, welche das Theilchen des Mittels längs FB ausübt, durch LB aus; so kann man diese in die Seitenkräfte LD und BD zerlegen. Die letztere wirkt längs der Tangente BD und wird die Kugel gar nicht bewegen, die erstere hingegen wirkt perpendikulär gegen die Kugel längs BC und sie verhält sich zur ursprünglichen, perpendikulär gegen den Cylinder wirkenden Kraft, wie LD : BL = BE : BC. Wenn man nun in der Figur des Textes Dm auf BL perpendikulär fällt, so kann man die eben gefundene Kraft DL in die beiden Seitenkräfte nD und mL zerlegen. Erstere wirkt längs Bβ Dm und wird, weil sie von B gegen β wirkt, durch eine ihr entsprechende, aus dem in β aufstossenden Theilchen hervorgehenden Kraft aufgehoben. Die andere Kraft mL allein wird das Bestreben haben, die Kugel längs FB zu bewegen und sie verhält sich zu DL, wie mL : DL = BE : BC; mithin wird mL : BL = BE² : BC².
- ↑ [609] No. 169. S. 323. Fällt man in der Figur des Textes das Perpendikel Hk auf CA und setzt man Hk = bA = EC = y, Ck = x, also bH = Ak = AC — x; so wird BE² = BC² — CE² = AC² — y² und die Gleichung bH = gebt über in AC — x = , d. h. in y² = AC · x, die Gleichung der Parabel. Ferner ist der Cubikinhalt des Paraboloïds = = ½AC³ · π, dagegen der Inhalt des Cylinders = AC³ · π; also das Paraboloïd = ½ Cylinder.
- ↑ [609] No. 170. S. 323. Setzt man den Widerstand, welchen das Mittel gegen einen, über CEB zur Hohe OS construirten Cylinder ausüben würde, = p · CEB, wo p eine Constante ist; so hat man nach §. 45. den gegen den ganzen Kegel CBS ausgeübten Widerstand
1. = p · CEB · , den gegen den kleinen Kegel FGS ausgeübten
2. = p · FG · , endlich den gegen die Fläche FG ausgeübten Widerstand
3. = p · FG. Hiernach wird der, gegen den abgekürzten Kegel ausgeübte Widerstand
4. = p · Setzt man nun CO = b, OD = a, DS = x, so wird CEB : FG = (a + x)² : x², also
5. die Fläche FG = · CEB und ausserdem
6. CS² = b² + (a + x)². Nach §. 4. ist daher der Widerstand
= p · CEB , und da p und CEB beide constant, so muss x so bestimmt werden, dass nach gehöriger Reduction
7. F(x) = ein Minimum werde. Wir erhalten demnach durch Differentiation
8. F'(x) = Aus F'(x) = 0 oder Z = 0 folgt
9. x = — ½a + also
QS = QD + DS = ½a + x = = CQ. Ferner wird aus 8., weil Z = 0,
10. F"(x) = [610] also F"(x) positiv und für den in 9. gefundenen Werth von x, F(x) ein Minimum. Nimmt die Höhe OD mehr und mehr ab, so wird CQ = QS mehr und mehr OC gleich werden und wenn die Höhe a verschwindend klein geworden ist, wird QS = OC, OCS = OSC = 45° und CSB = 90°. - ↑ [610] No. 171. S. 321 Stellt GO BR den Widerstand dar, welchen das Mittel gegen GH ausüben würde, so drückt, wenn man OK auf GR und KL auf OG perpendiculär zieht, OL den gegen GB ausgeübten Widerstand des Mittels aus. Da nun GR parallel der Tangente in N ist, so wird MN · LG den MN entsprechenden Widerstand darstellen und es ist Bedingung, dass derselbe ein Minimum werde, oder da MN gegeben ist, muss
1. LO = Minimum werden. Nun ist
2. LO : OK = OK : OG also
LO² : OK² = OK² : OG², LO² : LO · OG = OK² : OG² 3. LO : OG = OK² : OG². Da aber Δ GOK ∼ GBR, so ist OK : OG = GB : GR also
4. LO : OG = GB² : GR². Die Linien OG und GB sind gegeben, daher muss, wenn LO ein Minimum sein soll, GR² ein Maximum, oder weil
5. GR² = GB² + BR² BR ein Maximum werden. Bezeichnet nun a eine später zu bestimmende Constante, so muss MN · LO — a · BR ein Minimum werden. Hieraus ergiebt sich durch Differentiation, weil MN und a constant sind,
6. , aus 4. oder OL · GR² = OG · GB², weil OG und GB constant sind, 7. und aus 5.
8. . Multiplicirt man nun die drei Gleichungen 6., 7. und 8. in einander, so erhält man
9. a · GR² = — 2 MN · LO · BR. Denkt man sich nun N nach G verlegt, so wird nach dem Schluss der vorhergehenden Bemerkung GR² = GP² = GB² + BP² = 2 · GB²; MN = GB, BR = BP = BG, LO = ½GO, also nach 9. 2a · GB² = — GB² · GO oder a = — ½GO und es geht Gl. 9. mittelst dieses Werthes von a über in
10. GO · GR² = 4MN · LO · BR. Da aber nach 4. GO = , so wird aus 10. GR4 = 4MN · BR · GB² oder
11. MN : GR = GR³ : 4 · BR · GB². - ↑ [610] No. 172. S. 325. (Fig. 174.) Drückt CB die Bewegung aus, welche in der Zeit AB durch den Widerstand verloren geht, so wird der ganze Weg, nach §. 7., Zusatz 1., durch CBEF ausgedrückt. Die dann stattfindende Bewegung wird durch EF bezeichnet, also ist FG verlorgen gegangen. [611] Soll BC den Widerstand im Anfange der Zeit BE, BH den Widerstand am Ende derselben ausdrücken; so muss, weil der Widerstand dem Quadrate der Bewegung proportional ist, wenn BH = α · EF² ist, auch BC = α · BC² sein, wo α constant. Nun ist BH : EF = AB : AE = EF : BC, also BH = · EF² und auch BC = · BC². In ersteren Falle hat also der Widerstand den Theil CH verloren.
- ↑ [611] No. 173. S. 326. Nach Zusatz 6. ist AB = T, BE = t, BC = M, mithin EF = BC = M, GF = BC — EF = M. Ferner ist BGGE = BC · BE = Mt, BCFE = EF · dAE = also BCFE : BCGE = log . Dieser Logarithme ist ein hyperbolischer, daher muss der Briggsche Logarithme log durch die im Texte aufgeführte Zahl, d. h. das Reciproke des Modulus der Briggschen Logarithmen multiplicirt werden, um denselben in einen hyperbolischen zu verwandeln.
- ↑ [611] No. 174. S. 327. Bezeichnet t die Zeit, c und c' die Geschwindigkeiten, h und h' die Wege, g = 155/8 Fuss die bekannte constante Fallhöhe; so ist h = gt², c = = 2gt, also auch c = 2 und eben so c' = 2, mithin c : c' = oder h : h' = c² : c².
Entspricht nun der Geschwindigkeit c der Querschnitt s „ „ c' „ „ s', so ist bei gleicher Zeit t im ersten Falle die Wassermenge m = cst, im zweiten Falle m' = c's't und wenn m = m', cs = c's' oder c : c' = s' : s.
- ↑ [611]
Fig. 252. No. 175. S. 330. Bei einer Fallhöhe = h ist die Geschwindigkeit, nach der vorhergehenden Bemerkung, weil die Oeffnung sehr klein ist, c = 2. Diese hat man hier horizontal anzunehmen, und es wird in einer kleinen Zeit t ein Weg
1. x = ct — 2t beschrieben. Während derselben Zeit fällt aber der Wasserkörper, vermöge der Schwere, um eine Länge
2. y = gt². Eliminirt man t aus 1. und 2., so wird
3. x² = 4hy, die Gleichung einer Parabel, deren Parameter = 4h ist. In vorliegendem Falle hat man h = 20", mithin den Parameter = 80" und für y =20",
= 40". - ↑ [611] No. 176. S. 332 (Fig. 176.) Aus JO² = JH · JG, oder JH : JO [612] = JO : JG folgt JH : JO — JH = JO : JG — JO oder JH : HO = JO : OG; hierauf HO + OG : 2HO = JH + JO : 2JH und auch JH + JO : 2JH = JO + JG : 2JO = AB + EF : 2EF.
- ↑ [612] No. 177. S. 335. (Fig. 178.) Das neben dem Kreise vorüberfliessende Wasser habe die nach unten gerichtete Geschwindigkeit h', und dabei ist der Querschnitt des Raumes, wodurch es fliesst = (EF² — PQ²)π. Die nach oben gerichtete Geschwindigkeit des Kreises sei h, wobei sein Querschnitt = PQ² · π ist Bei gleicher Dauer beider Bewegungen haben wir daher (EF² — PQ²) πh' = PQ²πh, also h : h' = EF² — PQ² : PQ² und hieraus h : h + h' = EF² — PQ² : EF².
- ↑ [612]
Fig. 253. No. 178. S. 341. Es bezeichne d den Durchmesser der Kugel, s den Weg, welchen sie zurücklegt, während sie die Hälfte ihrer Bewegung verliert. Alsdann ist EF = ½BC, und weil
AB · AC = AE · EF, AB = ½AE. Da nun a. a. O. AB = T, BE = t war, AE = 2AB = 2T = T + t, oder t = T. Ist die anfängliche Bewegung BB = M, so hat man nach §. 47, Zusatz 7.
s : Mt = 2,30258 .... log 2 : 1. In diesem Falle wird AB · BB = BCGE = Mt, und da allgemein BCGE : AB · BC, wie der Weg, welchen die Kugel mit ihrer anfänglichen Bewegung BC in der Zeit t = BE zurückgelegt hätte, an dem Wege, welchen sie in der Zeit T zurücklegen würde, während welcher ihre ganze Bewegung durch den Widerstand des Mittels angehoben werden könnte; so sind beide Wege in diesem Falle einander gleich, also nach diesem Paragraphen = 8/3d. Demnach geht vorstehende Proportion über in s : 8/3d = 2,30258 .... 0,30103 : 1, woraus s = 1,84d, d. h. s < 2d folgt.
- ↑ [612] No. 179. S. 342. (Fig. 143.) Es bezeichne V die Geschwindigkeit, welche die Kugel bei ihrem Falle in zusammengedrückter Flüssigkeit während der Zeit P erlangt haben würde. Es sei nun
1. AP : AC = V : H, und man ziehe durch den Punkt T der Hyperbel AVZ, πτ AC, bis die erstere die Hyperbel in τ und die Asymptote DC in π schneidet. Da nun aus TX² = DX² — DA² (§. 13.) = πX² — AC² folgt
πX² — TX² = AC² = (πX + TX) (πX — TX) = πτ · πT also
2. πτ : AC = AC : πT; so wird
3. πτ: πT = πτ² : AC² und auch
4. πτ : πτ — πT = πτ² : πτ² — AC² so wie
5. πτ : Tτ = πτ² : πτ² — AC² [613] Es ist aber Tτ : τX = 2 : 1 also πτ : τX = 2πτ² : πτ² — AC² und hieraus, weil τX = TX6. πX : TX =πτ² + AC² : πτ² — AC². Da nun ferner πX CA, so ist πX : TX = AC : AP = H : V (Gl. 1.) und so (nach Gl. 6.)
7. H : V = πτ² + AC² : πτ² — AC², und indem man = N setzt, H : W = N + 1 : N — 1 oder V = H. Setzt man DX = x, τX = TX = y, DA = AC = a, so wird Δ ADC
= ½a², Sector ADT = ½xy — ydx = ½xy — xy + xdy. Ferner folgt aus y² = x² — a², dy = und so
ADT = —½xy + = — ½xy + ½xy + ½a² ln(x + y) — ½a² ln a = ADC · ln = ADC · ln endlich
8. 2 · ADT = ADC · ln = ADC · lnN. Hier bezeichnet in einen natürlichen Logarithmen, hingegen soll log einen Briggischen bezeichnen. Setzt man nämlich β = 0,4342944819 gleich dem Modulus der Briggischen Logarithmen, so folgt ans Gl. 8.
2β · ADT = ADC · log N. Ferner ist
ADT = ADC · (nach §. 13., Zusatz 5.) also 2β · = log N und
9. N = Numerus log . Der während der Zeit P beschriebene Weg werde durch A, dagegen der von einem beliebigen Körper, in derselben Zeit P mit der Geschwindigkeit H beschriebene, Weg durch S bezeichnet. Alsdann ist in der Figur
AB = ¼AC also
10. AB · AC = ¼AC² = ¼AC · AD = ½ADC. Ferner wird, wenn man NK = y, CK = x, ¼AC² = α² setzt, yx = α² und
11. ABNK = ydx = α² (lnAC — lnCK) = ½ADCln , Nach §. 13. ist AC : AP : = AP : AK, also AC : AK = AC² : AP², und daher AC : CK = AC² : AC² — AP² = H² : H² — V² (Gl. 1.)
= H² : H² — · H² 12. AC : CK = (N + 1)² : 4N. [614] Aus Gl. 11. und 12. folgt 2 · ABNK = ADC · ln = . Oben war ADC · logN = 2β · ADT;also wird
13. ABNK : ADT = · log N. Nach §. 13., Zusatz 1. ist ABNK : ADT = A : S, mithin
A : S = : log N oder
<centerA log N = S · .Da nun S und 2F die Wege sind, welche die mit der Geschwindigkeit H gleichförmig fortschreitenden Körper in den Zeiten P und G zurücklegen würden; so ist
S : 2F = P : G und
15. S = Aus Gl. 14. und 15. folgt demnach A log N = [2L + log N — log 4] d. h. weil oben
logN = war. 16. A = Mittelst des Werthes von β = 0,4342944619 und log 4 = 0,6020599913 wird = 4,60517086, = 1,3862945611, also A, oder die in der Zeit P zurückgelegte Höhe
17. A = — 1,3862943611 · F + 4,60517086 · LF. Ist A sehr gross, so dass AP in §. 13. der Linie AC sehr nahe gleich wird, so fällt nach Gl. 7. πτ² sehr gross im Vergleich mit AC² aus, d. h. es wird nach Gl. 8. N sehr gross und kaum grösser als 1. Hiernach wird ferner L = log sehr nahe = 0 und man kann daher in Gl. 17. das Glied 4,60517086 LF vernachlässigen.
- ↑ [614] No. 180 S. 343. Ein Körper verliert, wie wir oben in Abschnitt V. gesehen haben, wenn er in Wasser eingetaucht wird, so viel von seinem Gewicht, als ein Wasserkörper von gleicher Grösse wiegt. Hiernach wird das Gewicht einer beliebigen Wasserkugel dem Unterschiede des Gewichtes einer gleich grossen Kugel im leeren Raume und im Wasser gleich sein.
- ↑ [614] No. 181. S. 343. Ist dieser Durchmesser d, so wird d = 1" · = 0,84224 Zoll.
- ↑ [615] No. 182. S. 344. Zur Erläuterang der im Texte aufgeführten einzelnen Rechnungen, diene Folgendes. Aus 2,24597 : 2F = 7913/38 : 15613/38 folgt 2F = 4,4256 Zoll. Für den Fall der 15613/38 Gran im leeren Raume wiegenden Kugel, ist das beim Falle der Körper vorkommende g = 193⅓ Zoll. Im Wasser wiegt die Kugel nur 77 Gran, und daher wird die 1 Secunde entsprechende Fallhöhe = · 193⅓ = 95,219 Zoll. Setzt man nun s = 95,219 = g¹ t² = g¹ 1 Sec., F = 2,2128 = g¹ · G², so wird G : 1 = oder G = 0,15244 Secunde. Ferner wird = H = 2g¹G, mithin H · G = 2g¹G² = 2F. Aus der Proportion 0,15244 : 4 = 2F : S, folgt der 4 Secunden entsprechende Weg S = 116,1245 Zoll. Hiervon muss nach §. 60, 1,3862944 F = 3,0676 Zoll subtrahirt werden. Endlich ergiebt sich aus dem im Texte gegebenen Durchmesser = 0",84224 oder Halbmesser = 0,42112 Zoll der grösste Kreis der Kugel = 0,55715 Quadratzoll, der horizontale Querschnitt des Kastens = 81, mithin die zwei einzelnen Verhältnisse und 81 : 80,44285 und hieraus das zusammengesetzte Verhältniss 1 : 0,9914. Der im Text aufgeführte Weg 113,0569 Zoll muss daher in diesem Verhältnisse vermindert oder mit multiplicirt werden und gebt so in 112,08 Zoll über.
![{\displaystyle \scriptstyle \left[{\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}(CEB-FG)+FG\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e594cd3a1b827a65e9fe3aa61cc3fd876df7e3)
![{\displaystyle \scriptstyle \left[{\frac {b^{2}}{b^{2}+(a+x)^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right)+{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45eb72de6fd3ac6ab5b816d40d49ed349d6bc52b)
![{\displaystyle \scriptstyle {\frac {2b^{2}a\left[ax+x^{2}-b^{2}\right]}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {Z}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aada27fc890f8745f4e4766481cc27a99af2d50)
![{\displaystyle \scriptstyle {\frac {dZ}{N}}={\frac {2b^{2}a(a+2x)}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {4b^{2}a{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}{\left[b^{2}+\left({\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40278b5ef6556fde48056d206ba6d2a1cd59f71c)
![{\displaystyle \scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24131e60584f1d02815b3f48d2e2c408124d4b64)
![{\displaystyle \scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]={\frac {2PF}{G}}\log \left[{\frac {(N+1)^{2}N}{4N^{2}}}\right]={\frac {2PF}{G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd185747821081c51066dd761d24452aeba95e9d)
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{79{\frac {13}{38}}:132,8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e170cd3d1e1e098064b4a1d26c029aec9557a6)
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