No. 169. S. 323. Fällt man in der Figur des Textes das Perpendikel Hk auf CA und setzt man Hk = bA = EC = y, Ck = x, also bH = Ak = AC — x; so wird BE² = BC² — CE² = AC² — y² und die Gleichung bH =
gebt über in AC — x =
, d. h. in y² = AC · x, die Gleichung der Parabel. Ferner ist der Cubikinhalt des Paraboloïds =
= ½AC³ · π, dagegen der Inhalt des Cylinders = AC³ · π; also das Paraboloïd = ½ Cylinder.
No. 170. S. 323. Setzt man den Widerstand, welchen das Mittel gegen einen, über CEB zur Hohe OS construirten Cylinder ausüben würde, = p · CEB, wo p eine Constante ist; so hat man nach §. 45. den gegen den ganzen Kegel CBS ausgeübten Widerstand
1. = p · CEB ·
,
den gegen den kleinen Kegel FGS ausgeübten
2. = p · FG ·
,
endlich den gegen die Fläche FG ausgeübten Widerstand
3. = p · FG.
Hiernach wird der, gegen den abgekürzten Kegel ausgeübte Widerstand
4. = p ·
Setzt man nun CO = b, OD = a, DS = x, so wird CEB : FG = (a + x)² : x², also
5. die Fläche FG =
· CEB
und ausserdem
6. CS² = b² + (a + x)².
Nach §. 4. ist daher der Widerstand
= p · CEB
,
und da p und CEB beide constant, so muss x so bestimmt werden, dass nach gehöriger Reduction
7. F(x) =
ein Minimum werde. Wir erhalten demnach durch Differentiation
8. F'(x) =
Aus F'(x) = 0 oder Z = 0 folgt
9. x = — ½a +
also
QS = QD + DS = ½a + x =
= CQ.
Ferner wird aus 8., weil Z = 0,
10. F"(x) =