MKL1888:Triangulation

Triangulation (lat., auch trigonometrische Netzlegung), Inbegriff aller Arbeiten, welche einer geregelten topographischen Aufnahme (s. d.) eines Landes vorausgehen müssen, aber auch bei Gradmessungen etc. ausgeführt werden. Zweck der T. ist im eigentlichen Sinn: Bestimmung der Lage von Punkten der Erdoberfläche. Denkt man sich einen Punkt auf eine Fläche projiziert (s. Projektion), so ist die Lage des Punktes bestimmt, sobald die Höhe des Punktes über dieser Fläche und die Lage seiner Projektion auf dieser Fläche bekannt ist. Diese, die Projektionsfläche, ist die Meeresfläche, und die Höhe der Punkte über derselben wird durch Höhenmessung oder Nivellement, ihre Lage auf der Projektionsfläche durch Horizontalmessung oder (eigentliche) T. bestimmt. Die T. zerfällt in Basismessung und Horizontalwinkelmessung.

Unter einer Basis versteht man diejenige auf die Projektionsfläche projizierte Entfernung von Punkten, die der folgenden Bestimmung der Entfernung aller Punkte voneinander als Grundlage dient. Die Länge der Basis beträgt im allgemeinen 3–5 km und ihre Lage wird so ausgesucht, daß sie die Vergrößerung der Seiten ermöglicht und das Terrain zwischen ihren Endpunkten nicht Unebenheiten bietet, die nicht durch den Basismeßapparat überwunden werden könnten. Der Wichtigkeit der Basis für die folgende T. entsprechend, muß man die Basis mit der größten Sorgfalt und mit einem Apparat messen, der die Garantie möglichst kleiner Fehler bietet. Die verschiedenen Basismeßapparate schließen sich im wesentlichen dem von Bessel 1834 zu der Gradmessung in Ostpreußen konstruierten und später verbesserten an. Der Basismeßapparat besteht aus Meßstangen, Glaskeilen u. Zubehör. Die Meßstangen aa (Fig. 1, S. 824), 3–5 an der Zahl, sind von Eisen u. etwa 4 m lang. Auf ihnen liegen Zinkstangen bb von der halben Breite und der ganzen Dicke. An dem einen Ende c sind diese Stangen durch Schrauben u. Lötung fest miteinander verbunden; sonst nicht weiter vereinigt, berühren sie sich der ganzen Länge nach. An beiden Enden der Zinkstange d und e sind Stücke von Stahl aufgelötet, deren Enden horizontal abgeschrägt sind. Die Eisenstange trägt dagegen nur auf dem einen Ende f ein Stahlstück, welches auch keilförmige Abschärfungen hat, deren Schneiden aber senkrecht zur Ebene der Stange stehen. Aus der ungleichen Ausdehnung von Eisen und Zink folgt,

Fig. 1. Meßstange etc.

daß die Entfernung ef mit der Temperatur der Meßstangen variiert. Aus der Größe ef ist daher auf diese Temperatur zu schließen, und da die Länge der Stangen bei einer gewissen Normaltemperatur durch vorangegangene Untersuchung bekannt ist, so ist unter fernerer Berücksichtigung des Ausdehnungskoeffizienten des Eisens die jedesmalige Länge der Stangen zu bestimmen. Um die Biegung der Meßstange zu verhüten, liegt dieselbe mittels der Rollenpaare gg (Fig. 2) auf einer eisernen Stange h, die auf dem Boden eines Holzkastens iiii befestigt ist, der die Meßstange der Länge nach einschließt. Auf den Ruhepunkten ist die Stange mittels Mikrometerschraube k beweglich, die auf einer Seite aus dem Kasten heraustritt. Zur Horizontallegung der Stange, resp. zur Ablesung des Winkels, um welchen diese von der horizontalen Lage abweicht, befindet sich auf ihr eine Libelle l mit graduierter Schraube. In der obern Fläche des Kastens sind ein oder zwei mit Glas geschlossene Einschnitte angebracht zur Ablesung der Stangentemperatur an einem auf den Meßstangen ruhenden Thermometer. Die Glaskeile (3–5), in Einem Stück geschliffen, sind nach dem Schleifen so voneinander getrennt, daß die parallelen Ebenen 3 Linien Entfernung haben. Die Stärke der Keile steigt von 0,8–2,0 Linien. Zwischen diesen beiden Grenzen sind auf einer der parallelen Ebenen 120 Striche in gleichen Zwischenräumen so gezogen, daß sie die den Winkel der geneigten Ebenen des Keils halbierende Linie senkrecht durchschneiden. Diese 120 Striche füllen eine Länge von 41 Linien, sind also 1/3 Linie voneinander entfernt und sehr nahe von 0,01 zu 0,01 Linie der Dicke des Keils fortgehend. Da außerdem die Zehntel eines Zwischenraums von 1/3 Linie leicht durch das Augenmaß geschätzt werden, so bieten die Keile das Mittel, noch Tausendstel der Linie zu messen. Zubehör sind Böcke zum Auflegen der Stangen, Gewichte, Pfähle etc.

Der Basismessung gehen die Planierungsarbeiten des Basisterrains voraus, um Unebenheiten des Terrains über 3° Böschung, die durch den Apparat nicht überwunden werden können, durch Abkämmen, resp. Aufführung von Pfahlrosten etc. zu entfernen. Ist dieses geschehen, so werden bei einer langen Basis mittels eines über einem Endpunkt aufgestellten Theodolits (s. d.) in der Richtung nach dem andern Endpunkt Zwischenpunkte bestimmt und diese durch feine

Fig. 2. Meßstange etc.

Stifte markiert. Von dem einen Endpunkt anfangend, werden dann so viel Böcke aufgestellt, daß auf diese sämtliche Meßstangen hintereinander gelegt werden können. (Fig. 2 zeigt eine auf zwei Böcke gelegte Meßstange.) Das vorderste Ende der ersten Meßstange wird mit dem ersten Endpunkt der Basis in Verbindung gebracht und diese Stange wie auch alle andern mittels Theodolits so eingerichtet, daß sie genau in der Richtung der Basis liegen. Es werden dann mittels der Glaskeile die Entfernung ef (Fig. 1) sowie die Zwischenräume zwischen je zwei Meßstangen gemessen; endlich wird an den Libellenschrauben die Neigung der Meßstange abgelesen. Ist eine Stange entweder zu nahe oder zu weit von der vorliegenden gelegt worden, so daß der Gebrauch der Glaskeile nicht durchführbar, so muß vorher die Stange mittels Mikrometerschraube in den nötigen Abstand gebracht werden. Sind die Ablesungen gemacht und notiert, so wird die erste Stange in die Verlängerung der letzten gebracht und die Messung in derselben Weise fortgesetzt. Da die Messung einer Basis mindestens 14 Tage angestrengter Thätigkeit erfordert, die Arbeit mithin öfters unterbrochen und wieder angeknüpft werden muß, so sind provisorische Festlegungen erforderlich, die mit größter Genauigkeit ausgeführt werden müssen und besondere Maßregeln erfordern, damit bei Wiederaufnahme der Messung auch die kleinsten Fehler vermieden werden. Die bei der Messung ausgeführten Beobachtungen geben das Mittel, die Länge der Basis zu berechnen und auch ferner den wahrscheinlichen Fehler in Bezug auf die Länge zu bestimmen (im allgemeinen kaum ein Milliontel der ganzen Länge). Die Endpunkte der Basis werden behufs späterer Wiederbenutzung sehr fest im Terrain markiert. Der beschriebene Basismeßapparat ist der Reichenbachsche oder Besselsche „Keilapparat“, derselbe wird in Preußen, Bayern und Italien gebraucht, Rußland und Schweden benutzen den „Fühlhebelapparat“ (s. d.), die Niederlande, Spanien und Portugal den Brunnerschen „Mikroskopenapparat“. Ein neuerer von General Baeyer und Bauernfeind empfohlener Apparat ist das Steinheilsche, auf Schienenbahn laufende gußstählerne „Meßrad“ mit Zählapparat (1 m hoch, zwischen Holzwandungen laufend); letzterer Apparat etwa analog dem von Fernel in Frankreich 1525 und Müller in Mähren 1720 zur dortigen Landesvermessung angewendeten Meßrad.

Ist die Länge der Basis durch Messung und nachherige Berechnung bekannt, so ist es möglich, in einem Umkreis von 200 km Halbmesser beliebig viele Punkte zu bestimmen.

Fig. 3.

Dieses geschieht wie folgt: 1) Die Basis AB (Fig. 3) wird bis zu einer Entfernung GH von 40–100 km Länge auf die in der Figur veranschaulichte Weise vergrößert. In jedem der vorhandenen Dreiecke brauchen nur je zwei Winkel gemessen zu werden, um demnächst die Seiten CB, CA und DA, DB, dann CD, darauf EC, ED, FC, FD etc., endlich GH zu berechnen. 2) Von der Seite GH ausgehend, werden Ketten von Dreiecken nach verschiedenen Richtungen bis zu 200 km Entfernung von der Basis geführt und diese Ketten miteinander so verbunden, daß Flächen, welche von Dreiecken nicht überzogen, jedoch ganz umschlossen sind, dazwischen bleiben. Es folgt 3) die Ausfüllung der zwischen den Ketten freigelassenen Räume mit Dreiecken. 4) In die unter 2 und 3 aufgeführten Dreiecke werden Dreiecke eingeschaltet, deren Seitenlängen bis zu 10 km herabsteigen. 5) In letztere Dreiecke werden endlich solche eingeschoben, deren Seitenlängen sich bis zu 2 km vermindern. Alle Messungen, die sich auf 1 und 2 beziehen, umfassen die T. erster Ordnung, die auf 3 bezüglichen die sekundäre T. erster Ordnung, die auf 4 bezüglichen die T. zweiter Ordnung, die auf 5 bezüglichen die Detailtriangulation oder T. dritter Ordnung.

Die T. erster Ordnung gibt die Grundlage zu allen folgenden Triangulationsarbeiten; sie erfordert daher die Anwendung der vorzüglichsten 10–15zölligen Theodolite (s. d.) sowie die größte Sorgfalt bei den Messungen. Die Arbeiten beginnen mit der Rekognoszierung des Terrains und der Auswahl der Punkte, welche behufs Ausführung der Beobachtungen namentlich in waldigem und etwas koupiertem Terrain durch Aufführung von bedeutenden Bauten (Signalen) sichtbar gemacht werden müssen. Die Höhe der Signale variiert je nach den Hindernissen, welche die Durchsicht von einem Punkt zum andern decken, von 3–30 m. Die Signale werden aus starkem Holz so errichtet, daß sie bei heftigem Wind nicht erschüttert werden, und daß derjenige Teil, auf dem das Instrument zu stehen kommt, vollständig isoliert ist von demjenigen Teil, auf dem sich der Beobachter befindet. Dies erreicht man durch zwei ineinander stehende, völlig getrennte Bauten. Statt der Holzsignale werden bei geringern Höhen Steinpfeiler errichtet (1 m hoch), bei Kirchtürmen auf deren Plattform. Diesen Vorbereitungsarbeiten folgen die Beobachtungen. Wegen der großen Entfernung der Punkte voneinander und in Rücksicht auf die möglichst besten Einstellungsresultate wird aber bei der T. erster Ordnung davon abgesehen, die auf den Signalen angebrachten Spitzen oder Tafeln etc. als Einstellungsobjekte zu nehmen, vielmehr stets das mittels des auf dem Nachbarsignal aufgestellten Heliotrops (s. d.) reflektierte Licht eingestellt. Behufs der Beobachtungen wird der Horizontalkreis des Theodolits genau horizontiert, und dann auf jedem Punkt sämtliche vorhandene Richtungen mindestens 24mal eingestellt, so daß alle Winkel gleich oft gemessen werden. Zur Eliminierung der sehr kleinen, aber stets vorhandenen Einteilungsfehler des Horizontalkreises nimmt man sämtliche Beobachtungen nicht auf einer Station in derselben Stellung des Kreises vor, sondern verändert unter Beibehaltung derselben Stellung des Instruments den Horizontalkreis um einen bestimmten Winkel (gewöhnlich 60°). Auch wird bei der exzentrischen Lage des Fernrohrs in jeder Kreislage jedes Objekt ebenso oft in der einen wie in der andern genau um 180° entgegengesetzten Stellung des Fernrohrs eingestellt. Aus dem Mittel beider Resultate folgt dann der auf das Zentrum des Instruments sich beziehende Winkel. Zwei weitere Feldarbeiten sind: a) Das Nehmen der Zentrierelemente. Da es nicht immer möglich, den Heliotropen oder den Theodolit im Zentrum der Station aufzustellen, so ist die Abweichung hiervon zu messen, um diese den später zu berechnenden Winkeln als Korrektion hinzufügen zu können. b) Das Festlegen des Punktes. Dieses ist unbedingt erforderlich, wenn die Messungen einen dauernden Wert haben und die Anknüpfung späterer Messungen ermöglichen sollen. Es geschieht durch Marksteine, bei der T. erster Ordnung durch eine versenkte, ca. 50 cm im Quadrat große Platte und einen daraufgestellten, ca. 1 m hohen, ca. 50 cm zu Tage tretenden Block. In beide, Stein und Platte, sind in der Mitte der Steinflächen Kreuzschnitte angebracht, deren Mittelpunkte das Zentrum der Station bedeuten.

Nach Beendigung der Feldarbeiten beginnt die Berechnung der Kette. Da es nur selten möglich, auf einer Station stets sämtliche Objekte einzustellen, so wird das Mittel aus allen Einstellungen auch nicht deren wahrscheinlichsten Wert ergeben. Die Ermittelung desselben wird durch die Ausgleichung der Stationen erreicht. Es folgt sodann das Zentrieren der Winkel bei denjenigen Stationen, bei denen der Theodolit oder der Heliotrop nicht im Zentrum der Station aufgestellt war. Sind die wahrscheinlichsten Werte der Richtungen hiernach korrigiert, so folgt die Ausgleichung der Kette. Da nämlich in jedem Dreieck sämtliche Winkel gemessen werden und es unmöglich ist, dieselben absolut richtig zu messen, so folgt, daß die Summe der gemessenen Winkel nicht gleich sein wird 180° + dem sphärischen Exzeß (d. h. der Zusatz an Winkelgröße über 180° an der Summe der Winkel eines Kugeldreiecks). Außerdem folgt aus der nicht absoluten Richtigkeit der Winkel, daß bei der Berechnung der Dreiecksseiten stets verschiedene Werte gefunden werden müssen, je nachdem der eine oder der andre Winkel zur Berechnung benutzt wird. Beides wird durch die Ausgleichung eliminiert, sämtliche Dreiecke werden so auf 180° + sphärischen Exzeß gebracht, und außerdem erhält jede Dreiecksseite in dem ganzen Netz nur einen einzigen Wert. Die Ausgleichung erfordert die Aufstellung und Auflösung von Gleichungen, deren Anzahl von der Zahl der zu bestimmenden Punkte und der vorhandenen Richtungen abhängt. Die Grenze für die wahrscheinlichen Fehler der Dreiecksseiten erster Ordnung beträgt 1/100000 der Länge.

Die T. zweiter Ordnung (sekundäre T.) wird im allgemeinen wie die T. erster Ordnung ausgeführt; nur gestattet der feste Rahmen, der diese Dreiecke umschließt, bei den Beobachtungen wie bei den Ausgleichungen ein etwas abgekürztes Verfahren. Bei der sekundären T. erfolgen die Rekognoszierungen, die Bebauung

Fig. 4. Triangulationen.

und Festlegung wie bei der T. erster Ordnung. Die Beobachtungen werden mit achtzölligen Theodoliten ausgeführt, die Pyramidenspitzen, Kirchturmspitzen als Einstellungsobjekte genommen und jeder Winkel zwölfmal gemessen. Stationsausgleichung findet nicht statt, und die Ausgleichung des Netzes wird nicht im ganzen, sondern nur gruppenweise ausgeführt. Die Fehlergrenze der Dreiecksseite beträgt 1/50000 der Länge. Bei der Detailtriangulation endlich ist wegen der geringen Entfernung der Punkte voneinander die Rekognoszierung und Bebauung bedeutend vereinfacht. Die Signale sind im allgemeinen nur ca. 4–6 m hohe drei- oder vierseitige Pyramiden. Die Festlegung besteht in einem einfachen Block mit Kreuzschnitt. Zu den Beobachtungen werden fünfzöllige Theodoliten benutzt und die Winkel durch sechsmalige Einstellung gewonnen. Bei der Berechnung wird der sphärische Exzeß nicht berücksichtigt. Dreiecksfehler werden auf die drei Winkel verteilt und die Länge der Seiten aus dem arithmetischen Mittel der aus den verschiedenen Dreiecken sich ergebenden Werte derselben Seite mit 1/25000 Fehlergrenze ermittelt. In Fig. 4 sind die Triangulationen der verschiedenen Ordnungen veranschaulicht, und es bezeichnen die starken Linien die T. erster Ordnung, die schwachen die T. zweiter Ordnung und die punktierten die Detailtriangulation.

Was die Höhenmessungen betrifft, so werden die Nivellements eingeteilt in trigonometrische und geometrische Nivellements. Letztere werden unterschieden in geometrische Präzisionsnivellements und einfache geometrische Nivellements. Über einfache Nivellements s. Nivellieren. In der höhern Geodäsie kommen nur trigonometrische und geometrische Präzisionsnivellements zur Anwendung. Die früher angewendeten trigonometrischen Nivellements sind erfahrungsmäßig infolge der Refraktionseinflüsse nicht völlig genau; als Grundlage aller Höhenbestimmungen werden jetzt daher nur geometrische Präzisionsnivellements ausgeführt. Die Fehlergrenze von 3 mm bei guten, 5 mm auf 1 km bei noch brauchbaren Nivellements bedingt die Anwendung vorzüglichster Nivellierinstrumente (Fernrohre mit ca. 32maliger Vergrößerung) und größte Sorgfalt bei den Beobachtungen. Die Nivellements werden, von dem Nullpunkt eines Pegels ausgehend, auf möglichst ebenen Straßen, Chausseen etc. ausgeführt; von 1/4 Meile zu 1/4 Meile wird ein Punkt der Höhe nach bestimmt und im Terrain, z. B. durch einen in einen Granitblock horizontal eingelassenen gußeisernen Nivellementsbolzen, fest markiert. Von diesen so bestimmten Punkten werden Seitennivellements nach allen in der Nähe liegenden trigonometrisch bestimmten Punkten ausgeführt und so auch deren Höhe über dem Nullpunkt des Pegels ermittelt. Das Nivellement geschieht stets von der Mitte aus, jede Linie wird mindestens zweimal nivelliert, auf den Chausseen findet der Kontrolle halber polygonaler Abschluß statt. Die durch denselben sich ergebenden kleinen Differenzen werden durch die Ausgleichung eliminiert, mittels welcher die definitiven Höhen der Punkte gefunden werden. Näheres über Präzisionsnivellements s. Nivellieren.

Gleichzeitig mit der Horizontalwinkelmessung bei der T. zweiter und dritter Ordnung werden trigonometrische Höhenmessungen zwischen allen denjenigen Punkten vorgenommen, deren Höhen nicht bereits durch geometrische Nivellements bekannt sind. Mit der T. erster Ordnung werden keine Höhenmessungen verbunden, da bei den großen Entfernungen der einzelnen Hauptdreieckspunkte die Unregelmäßigkeiten der Refraktion die Güte des Resultats benachteiligen würden. Da ferner die Refraktion mittags am geringsten ist, so werden die Beobachtungen nur in der Zeit von 10–3 Uhr ausgeführt.

Fig. 5.

Soll der Höhenunterschied h der beiden Punkte A u. B (Fig. 5), dessen Horizontalentfernung a durch die vorangegangene T. bekannt ist, gefunden werden, so ist nur erforderlich, den Winkel z, die Zenithdistanz, zu messen; denn da $\mathrm {z} =\alpha$, so folgt: $\mathrm {h={\tfrac {a}{\operatorname {tang} z}}}$. Dieser Höhenunterschied h, zu der absoluten Höhe von A addiert gibt die absolute Höhe von B. Die Zenithdistanzen werden mittels der mit Höhenkreisen versehenen Theodolite genommen. Um richtige Resultate zu erhalten, hat man die Höhe des Fernrohrs in A und die Höhe des eingestellten Objekts in B in Bezug auf die Dreieckspunkte A und B zu messen und in Rechnung zu bringen. Wie in A nach B, wird auch in B nach A die Zenithdistanz gemessen und sowohl von hier aus als auch aus der Zusammenstellung der von B über

Fig. 6.

andre Punkte, CD etc. (Fig. 6), nach A zurück ermittelten Höhenunterschiede eine Kontrolle über die Güte der Arbeit ausgeführt. Existieren in einem größern Terrainabschnitt keine durch geometrische Nivellements bestimmten Dreieckspunkte, so ist es erforderlich, wenigstens einige Punkte möglichst sicher der Höhe nach zu bestimmen. Es werden dazu gegenseitig-gleichzeitige Zenithdistanzen genommen. Es seien z. B. die Höhen der Punkte A und F (Fig. 6) bekannt, und es sollen die Höhen der Punkte B, C, D, E bestimmt werden, so messen zunächst auf A und B je ein Beobachter die Zenithdistanzen von A nach B, resp. B nach A und zwar mit Hilfe des Heliotropen oder bei nähern Entfernungen mit Hilfe eines durch Senken einer Tafel etc. gegebenen Zeichens in demselben Zeitmoment. Ist die vorgeschriebene Anzahl von Beobachtungen beendigt, so begibt sich der Beobachter von A nach C. Es werden dann die Zenithdistanzen von B nach C und von C nach B gemessen. Darauf geht der Beobachter von B nach D etc. bis zu Ende.

Die gegenseitig-gleichzeitigen Beobachtungen haben den Vorteil, daß sie annähernd den Einfluß der Refraktion aufheben, kommen indes nur in beschränkter Weise zur Anwendung. Im großen und ganzen werden die trigonometrischen Höhenmessungen durch gegenseitige, aber nicht gleichzeitige Beobachtungen ausgeführt, und nur ausnahmsweise, wenn ein Punkt die Aufstellung des Instruments (wie bei einzelnen Kirchtürmen etc.) nicht erlaubt, oder wenn eine allzu große Genauigkeit nicht verlangt wird, werden einseitige Zenithdistanzen genommen; dann muß aber die Höhe eines solchen Punktes der Kontrolle halber stets von mindestens drei andern bereits bestimmten Punkten aus ermittelt werden. Ist auf beschriebene Weise durch T. und Höhenmessung die Lage eines Punktes auf und über der Projektionsfläche ermittelt worden, so ist die geographische Position desselben festzustellen. Dieses geschieht durch Polhöhen-, Längen- und Azimutbestimmung. In der höhern Geodäsie kommen aber alle diese Arbeiten nur ausnahmsweise vor, da es, wenigstens in Europa, stets möglich sein wird, einen Dreieckspunkt mit einer Sternwarte unmittelbar zu verbinden und so deren Position auf einen Dreieckspunkt zu übertragen. Ist die geographische Position Eines Dreieckspunktes bekannt, so wird mit Hilfe der noch als gültig angenommenen Erddimensionen von Bessel durch einfache Rechnung Breite, Länge und Azimut jedes andern trigonometrisch bestimmten Punktes ermittelt. Vgl. Puissant, Traité de géodésie (Par. 1805); Späth, Die höhere Geodäsie (Münch. 1816); Decker, Lehrbuch der höhern Geodäsie (Mannh. 1836); Fischer, Lehrbuch der höhern Geodäsie (Darmst. 1845–46, 3 Abtlgn.); Bessel und Baeyer, Gradmessung in Ostpreußen (Berl. 1838); Baeyer, Küstenvermessung (das. 1849); die Werke von Gauß und die Veröffentlichungen des Büreaus der Landestriangulation; Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde (6. Aufl., Stuttg. 1879); Jordan, Handbuch der Vermessungskunde (2. Aufl., das. 1878); Börsch, Geodätische Litteratur (Berl. 1889).

Triangulation, in der Gärtnerei die Veredelung mit dem Geißfuß (s. d. und Pfropfen).