30. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper.
§ 134. Der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes.
Nachdem wir in § 128 die Primideale des Kummerschen Körpers sämtlich aufgestellt haben, sind wir imstande, diejenigen Untersuchungen für den
Kummerschen Körper durchzuführen, welche den in § 79 und in § 80 für den quadratischen Körper behandelten Fragen entsprechen. Wir leiten vor allem die folgende wichtige Tatsache ab:
Hilfssatz 27. Bedeutet
eine ungerade rationale Primzahl und
in dem durch
bestimmten Kreiskörper
eine beliebige ganze Zahl, nur nicht die
-te Potenz einer in
liegenden Zahl, so ist der Grenzwert
|
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stets eine endliche und von
verschiedene Größe; dabei soll das Produkt
über alle Primideale
des Körpers
und das Produkt
über alle Exponenten
aus der Reihe
erstreckt werden [Kummer (20[1])].
Beweis. Fassen wir den durch
und
bestimmten Kummerschen Körper
ins Auge und bezeichnen wir die dem Satze 56 gemäß gebildete Funktion
für denselben mit
, so ist nach § 27
|
,
|
wo das Produkt über alle Primideale
in
zu erstrecken ist und
die in
genommene Norm von
bedeutet. Ordnen wir dieses Produkt nach den Primidealen
des Körpers
‚ aus welchen die Primideale
herstammen, so gehört, wie man aus Satz 149 schließt, zu einem beliebigen Primideal
in dem Produkte das Glied
oder oder ,
|
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je nachdem
oder
oder
und
ausfällt. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form
,
|
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und erhalten so
;
|
(99)
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darin zeigt das Produkt
an, daß der Exponent
jeden der Werte
,
, …,
durchlaufen soll, und es sind die beiden Produkte
über alle Primideale
in
zu erstrecken. Nun stellt jeder der beiden Ausdrücke
,
|
|
eine endliche und von
verschiedene Größe dar, wie wir erkennen, wenn wir den Satz 56 einmal auf den Kreiskörper
und dann auf den Kummerschen Körper
anwenden. Durch Multiplikation der Gleichung (99) mit
und Übergang zur Grenze für
ergibt sich dann, daß auch der im Hilfssatz 27 angegebene Ausdruck eine endliche und von
verschiedene Größe besitzt.
§ 135.
Primideale des Kreiskörpers
mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren.
Satz 152. Es seien
, …,
irgend
ganze Zahlen des Kreiskörpers
, welche die Bedingung erfüllen, daß das Produkt
,
|
|
wenn man jeden der Exponenten
,
, …,
die Werte
,
,
, …,
durchlaufen läßt, jedoch das eine Wertsystem
,
, …,
ausschließt, dabei niemals die
-te Potenz einer Zahl in
wird; es seien ferner
,
, …,
nach Belieben vorgeschriebene
-te Einheitswurzeln: dann gibt es im Kreiskörper
stets unendlich viele Primideale
, für die jedesmal bei einem gewissen zu
primen Exponenten
, , …,
|
|
wird [Kummer (20[1])].
Beweis. Wir haben, so lange
ist,
|
(100)
|
wo
über alle Ideale
und
jedesmal über alle Primideale
des Körpers
zu erstrecken ist. Da der Ausdruck
, wie in § 50 gezeigt worden ist, für
endlich bleibt, so folgt aus (100), indem die linke Seite für
unendlich wird, daß die über alle Primideale
des Körpers
erstreckte Summe
|
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bei Annäherung von
an
über alle Grenzen wächst. Ist ferner
eine beliebige ganze Zahl in
, so gilt ähnlich für
stets
|
(101)
|
und hier bleibt wiederum
für
endlich. Es sei jetzt
eine der Zahlen
,
, …,
. Wir setzen in (101)
|
|
und multiplizieren die entstehende Gleichung noch mit dem Faktor
wir erteilen dann jedem der
Exponenten
,
, …,
nacheinander alle die
Werte
,
, …,
, jedoch so, daß das eine Wertsystem
,
, …,
ausgeschlossen bleibt. Werden die auf diese Weise hervorgehenden
Gleichungen sämtlich zu (100) addiert, so entsteht die Beziehung
|
(102)
|
wo für den Augenblick
|
|
gesetzt ist; außerdem ist in
![{\displaystyle S(\alpha _{\ast }^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f0fa092c9e3b54103966c5435fe8b221c57a38)
für
![{\displaystyle \alpha _{\ast }^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09906dca1b67e1f57b31dc03e807885a138f0ea6)
der oben angegebene Ausdruck einzusetzen. Wenn wir nun in der ersten Summe rechter Hand in (102) von denjenigen Gliedern absehen – ihr Aggregat möge
![{\displaystyle G_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99269e24e8109b604cc42cd4d3d94941c0a54aa5)
heißen –‚ die den in
![{\displaystyle \alpha _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{t},\ \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da072cee28aba1a620a89872bb359d0639b3cd4)
aufgehenden Primidealen
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so hat der übrige unendliche Teil dieser Summe offenbar den Wert
![{\displaystyle \textstyle l^{t}\sum \limits _{({\mathfrak {q}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {q}})^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be816dbf9f1cca01642473ba9f64b9b87b81bc39)
, wo
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b0448036d3f2e513dd80d94095c45d81510269)
nur alle diejenigen unter den Primidealen
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
des Körpers
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
durchläuft, für welche die
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
Bedingungen
|
(103)
|
sämtlich erfüllt sind. Bilden wir nun die Gleichungen (102) nacheinander
für
und summieren die entstehenden Formeln, so erhalten wir
|
(104)
|
hierbei hat in dem ersten Summenausdruck rechter Hand
alle Primideale
in
zu durchlaufen, welche irgendeinem von den
Bedingungssystemen genügen, die aus (103) entstehen, wenn man darin
einführt; für
‚ …‚
sind diese Bedingungssysteme identisch und die betreffenden Primideale
mal zu nehmen. Gehen wir nun zur Grenze für
über, so wird die erste Summe
linker Hand in (104) nach den Ausführungen zu Beginn des Beweises über alle Grenzen wachsen, und die zweite Summe
linker Hand bleibt auf Grund von Hilfssatz 27 für
endlich. Da. auch die Summen
und
sämtlich endlich bleiben, so folgt dann, daß der Ausdruck
für
über alle Grenzen wächst, und also sind die betreffenden Primideale
in unendlicher Anzahl vorhanden; diese Primideale
erfüllen hinsichtlich ihrer Potenzcharaktere genau die Forderungen des Satzes 152.