23. Der Kreiskörper in seiner Eigenschaft als Abelscher Körper.
§ 99.
Die Gruppe des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln.
Der Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln ist bei jedem Werte von
, wie man leicht erkennt, ein Abelscher Körper, und zwar gelten die folgenden eingehenderen Sätze:
Satz 128. Bedeutet
eine ungerade Primzahl, so ist der durch
bestimmte Kreiskörper ein zyklischer Körper.
Der durch
bestimmte Kreiskörper entsteht durch Zusammensetzung des imaginären quadratischen Körpers
und des reellen Körpers
. Der reelle Körper
ist zyklisch vom Grade
.
Beweis. Der erste Teil des Satzes 128 folgt, wenn wir die Substitution
|
|
(Ersetzung von
durch
) einführen, wo unter
eine Primitivzahl nach
verstanden werden soll. Offenbar sind dann alle Substitutionen der Gruppe des Körpers
Potenzen von
.
Um den zweiten Teil des Satzes 128 zu beweisen, betrachten wir die Substitutionen
|
|
Dann folgt leicht, daß die Potenzen von
und deren Produkte mit
die sämtlichen Substitutionen des Körpers
ausmachen.
Auf Grund des Satzes 128 ist auch für jede zusammengesetzte Zahl
die Gruppe des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln unmittelbar anzugeben.
Die Aufstellung des Zerlegungs-, des Trägheits- und des Verzweigungskörpers für ein gegebenes Primideal in
kann auf Grund der Bedeutung dieser Unterkörper mit Hilfe der in § 95, § 96 und § 97 bewiesenen Sätze über die Zerlegung einer rationalen Primzahl im Kreiskörper leicht bewirkt werden. So ergibt sich insbesondere das folgende Resultat:
Satz 129. Bedeutet
eine ungerade Primzahl, und betrachtet man den Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln, so ist für das in
enthaltene Primideal
der Körper
ein überstrichener Verzweigungskörper und der in ihm enthaltene Körper der
-ten Einheitswurzeln der Verzweigungskörper, während der Körper der rationalen Zahlen gleichzeitig die Rolle des Zerlegungs- und des Trägheitskörpers für
übernimmt. Ist ferner
ein von
verschiedenes Primideal in
vom Grade
, so ist für
der Körper
selbst der Trägheitskörper, während als Zerlegungskörper von
derjenige Unterkörper
-ten Grades von
erscheint, der zu der Substitutionengruppe
|
|
gehört. Dabei bedeutet
eine solche Substitution der Gruppe des Körpers
, welche mit ihren Potenzen diese Gruppe vollständig erzeugt.
§ 100. Der allgemeine Begriff des Kreiskörpers. Der Fundamentalsatz über die Abelschen Körper.
Wir erweitern nunmehr den Begriff des Kreiskörpers, wie er bisher in Betracht kam; wir bezeichnen als einen Kreiskörper schlechthin nicht nur einen jeden durch die Einheitswurzeln von irgendeinem Exponenten
bestimmten Körper
, sondern auch einen jeden, irgendwie in einem solchen besonderen Kreiskörper
enthaltenen Unterkörper. Da jeder Körper
ein Abelscher Körper ist und ferner, wenn
und
irgendwelche Exponenten bedeuten, der Körper der
-ten Einheitswurzeln und der Körper der
-ten Einheitswurzeln beide zugleich in dem Körper der
-ten Einheitswurzeln als Unterkörper enthalten sind, so gelten für diesen erweiterten Begriff des Kreiskörpers allgemein die folgenden Tatsachen:
Satz 130. Jeder Kreiskörper ist ein Abelscher Körper. Jeder Unterkörper eines Kreiskörpers ist ein Kreiskörper. Jeder aus Kreiskörpern zusammengesetzte Körper ist wiederum ein Kreiskörper.
Es ist nun eine fundamentale Tatsache, daß die erste Aussage in diesem Satze 130 sich, wie folgt, umkehren läßt:
Satz 131. Jeder Abelsche Zahlkörper im Bereiche der rationalen Zahlen ist ein Kreiskörper [Kronecker (2[1], 13[2]), Weber (1[3]), Hilbert(6[4])].
Um den Beweis dieses fundamentalen Satzes vorzubereiten, erinnern wir daran, daß nach § 48 jeder Abelsche Körper sich aus solchen zyklischen Körpern zusammensetzen läßt, bei denen die Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wir konstruieren nun folgende besonderen zyklischen Körper. Es bedeute
eine ungerade Primzahl und
eine Potenz derselben mit positivem Exponenten; dann ist der durch
bestimme Körper
ein zyklischer Körper vom
-ten Grade. Der zyklische Unterkörper vom
-ten Grade dieses Körpers werde mit
bezeichnet. Ferner bestimmt die Zahl
einen reellen zyklischen Körper vom
-ten Grade. Dieser Körper werde mit
bezeichnet. Endlich sei
eine Potenz einer beliebigen Primzahl
(
oder
) und außerdem
eine Primzahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
; dann besitzt der Kreiskörper
vom Grade
offenbar einen zyklischen Unterkörper vom Grade
. Dieser zyklische Körper
-ten Grades werde mit
bezeichnet. Die Körper
,
,
sind Kreiskörper bez. von den Graden
,
,
; die Diskriminanten dieser Körper
,
,
sind infolge der Sätze 39 und 121 Potenzen bez. der Primzahlen
,
,
. Daß es bei jeder Annahme von
Primzahlen
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
gibt, steht nach der letzten Bemerkung in § 97 fest, kommt jedoch hier nicht in Frage.
Wir werden in den folgenden Paragraphen zeigen, daß jeder Abelsche Körper als Unterkörper in einem solchen Körper enthalten ist, der durch Zusammensetzung aus
und geeigneten Körpern
,
,
entsteht. Zu diesem Nachweise ist eine Reihe von Hilfsbetrachtungen vorauszuschicken.
§ 101. Ein allgemeiner Hilfssatz über zyklische Körper.
Hilfssatz 15. Wenn ein zyklischer Körper
von einem Grade
, wo
eine beliebige Primzahl (
oder
) ist, nicht den betreffenden Körper
bez.
als Unterkörper enthält, so entsteht durch Zusammensetzung von
mit dem durch
bestimmten Körper
ein Körper
vom Grade
, und es gibt dann stets in
eine ganze Zahl
mit folgenden Eigenschaften: der Körper
ist auch durch die Zahlen
und
bestimmt; bezeichnet
eine beliebige nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl, und wird aus der Gruppe des Körpers
die Substitution
|
|
ins Auge gefaßt, so ist
die
-te Potenz einer Zahl in
.
Beweis. Die erste Behauptung über den Grad von
folgt unmittelbar daraus, daß
und
außer dem Körper der rationalen Zahlen keinen gemeinsamen Unterkörper haben. Es sei nun
eine den Körper
bestimmende ganze Zahl von der Art, daß auch keine Potenz von
in einem Unterkörper von
liegt; es sei ferner
eine solche Substitution der Gruppe von
, welche mit ihren Potenzen diese Gruppe erzeugt. Wir setzen, wenn
und
beliebige Exponenten sind:
|
|
Die Ausdrücke
können nicht sämtlich verschwinden, da sonst wegen
notwendig auch die Determinante
|
|
verschwinden müßte und dann nach der Bemerkung auf S. 71 die Zahl
keine den Körper
bestimmende Zahl wäre. Es sei
eine solche Potenz von
, für welche
ausfällt. Vermöge
folgt dann, daß die Zahl
und ferner alle Zahlen
Zahlen in dem Körper
sind. Da
|
|
wird und
ebenfalls eine den Körper
bestimmende Zahl ist, so sehen wir, daß der durch
und
bestimmte Körper, dessen Grad höchstens
ist, den Körper
vom Grade
enthält; der erstere Körper ist daher mit diesem letzteren Körper identisch, und die Zahl
besitzt die im Hilfssatz 15 angegebene Eigenschaft.
Wir machen noch folgende Bemerkung. Der durch
und
bestimmte Körper ist, wie man leicht erkennt, relativ zyklisch vom Relativgrade
in bezug auf
und besitzt daher einen einzigen Unterkörper‚ der
enthält und relativ zyklisch vom Grade
in bezug auf
ist. Bedeutet nun
den Unterkörper
-ten Grades von
, so muß danach der aus
und
zusammengesetzte Körper mit dem durch
und
bestimmten Körper identisch sein.
§ 102.
Von gewissen Primzahlen in der Diskriminante eines zyklischen Körpers vom Grade
.
Hilfssatz 16. Wenn
ein zyklischer Körper von einem Grade
ist, wo
eine beliebige Primzahl (
oder
) ist, und wenn
den Unterkörper
-ten Grades von
bezeichnet, so besitzen die etwaigen von
verschiedenen Primteiler
der Diskriminante von
durchweg die Kongruenzeigenschaft
nach
.
Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß
eine ungerade Primzahl und
ist. Wir nehmen an, es fände sich im Gegensatz zu unserer Behauptung eine rationale, in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl
‚ welche
nach
ist. Es sei
, ferner
eine Primitivzahl nach
, und man nehme aus der Gruppe des Körpers
die Substitution
. Ist
ein idealer Primfaktor von
im Körper
, so ist das Primideal
, wegen
nach
, nach Satz 119 von einem Grade
; mithin ist nach Satz 129 der Zerlegungskörper des Primideals
von einem Grade
; die übrigen Primfaktoren von
sind dann
|
|
während
, d. h.
|
(39)
|
wird. Desgleichen gelten auch für die zu
konjugierten Primideale
die entsprechenden Gleichungen
|
(40)
|
Nach Hilfssatz 15 gibt es eine ganze Zahl
in
‚ so daß die beiden Zahlen
und
den aus
und
zusammengesetzten Körper
bestimmen, und für welche obendrein
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
wird. Da
und
zwei ganzzahlige Funktionen von
sind, welche im Sinne der Kongruenz nach
keinen gemeinsamen Faktor haben, so gibt es drei ganzzahlige Funktionen
,
,
der Veränderlichen
, so daß
|
|
ist, und hieraus folgt
|
|
wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichungen (39) und (40) für die Primideale
läßt sich
als eine solche ganze oder gebrochene Zahl schreiben, daß Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren
enthalten und daher zu
prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl
. Wir setzen
in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper
wird dann auch durch die beiden Zahlen
und
bestimmt. Die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
ist
, und da
zu
prim ist, so ist mithin auch die Relativdiskriminante von
in bezug auf
prim zu
. Da andererseits auch die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, so ist nach Satz 39 auch die Diskriminante von
und folglich nach Satz 85 auch die Diskriminante des Körpers
prim zu
‚ was unserer Annahme widerspricht.
In ähnlicher Weise erschließen wir die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 bei ungeradem
, wenn der Exponent
angenommen wird. Es sei
‚ ferner bezeichne r eine Primitivzahl nach
, und aus der Gruppe des Körpers
sei
. Es sei
eine in der Diskriminante von
aufgehende, von
verschiedene Primzahl und
ein idealer Primfaktor von
in
. Nehmen wir
nach
, aber
nach
an, so liegt das Primideal
jedenfalls auch in dem Unterkörper
des Körpers
, d. h. es ist
, und ebenso gelten für die zu
in
konjugierten Primideale
die Gleichungen:
|
|
Da
Primitivzahl nach
ist, so wird
nach
, und mithin lassen sich drei ganzzahlige Funktionen
der Variablen
derart bestimmen, daß
|
|
ist; hieraus folgt alsdann, wenn
eine nach Hilfssatz 15 bestimmte Zahl bedeutet,
|
|
wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale
ist
und folglich auch
eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu
prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl
setzen in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann
, und daraus ergibt sich
, wo
ebenfalls in
liegt. Da der durch
und
bestimmte Körper, wie am Schlusse des § 101 bemerkt wurde, mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus
und
entsteht, und da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den zu
primen Wert
besitzt, so ist die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Andererseits ist die Diskriminante von
ebenfalls nicht durch
teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von der Diskriminante des Körpers
und damit auch dann von der des Körpers
. Der letztere Umstand aber widerspricht unserer Annahme.
Um die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 für
zu erkennen, machen wir zunächst die Annahme
und wenden dann auf den zyklischen Körper
vom 4-ten Grade den Hilfssatz 15 an. Wir setzen
und betrachten aus der Gruppe von
die Substitution
. Es sei
der quadratische Unterkörper von
, und wir nehmen an, es gebe eine in der Diskriminante von
aufgehende ungerade Primzahl
, welche
nach
ist. Infolge der letzteren Eigenschaft ist
in
unzerlegbar. Ist nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl
durch
teilbar, so bilden wir die Zahl
. Da nach Hilfssatz 15 andererseits
sein soll, wo
in
liegt, so folgt
, d. h.
. Infolgedessen ist
das Quadrat einer Zahl in
; wir können
setzen in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da der Körper
mit dem Körper
übereinstimmt, und da andererseits die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
zu
prim ist, so ist auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
, und hieraus folgt, daß die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, entgegen der Voraussetzung.
Ist im Falle
der Exponent
, so setzen wir
. Nehmen wir dann an, es gäbe eine in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl
nach
und
nach
, und ist
ein idealer Primfaktor von
in
, so bliebe
ungeändert bei einer Substitution
, wo
entweder
oder
zu nehmen ist; folglich wäre
. Wegen
nach
würde, ähnlich wie oben, eine Gleichung von der Gestalt:
|
|
gelten, und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem
, auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach
in der Diskriminante von
aufgeht. Damit ist der Hilfssatz 16 vollständig bewiesen.
Aus dem Hilfssatze 16 folgt ohne Schwierigkeit die weitere Tatsache:
Hilfssatz 17. Es sei
ein zyklischer Körper von einem Grade
, wo
eine beliebige Primzahl (
oder
) ist; der Unterkörper l
-ten Grades von
werde mit
bezeichnet; die Diskriminante des Körpers
enthalte die von
verschiedene Primzahl
: dann kann stets ein Abelscher Körper
von einem gewissen Grade
mit folgenden beiden Eigenschaften gefunden werden:
Erstens. Der aus
und einem gewissen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper.
Zweitens. Die Diskriminante des Körpers
enthält nur solche Primzahlen, die auch in der Diskriminante des Körpers
aufgehen, darunter aber nicht die Primzahl
.
Beweis. Nach Hilfssatz 16 besitzt die rationale Primzahl
die Kongruenzeigenschaft
nach
; man konstruiere nach § 100 den zyklischen Kreiskörper
vom Grade
, dessen Diskriminante eine Potenz von
ist, und betrachte den aus
und
zusammengesetzten Körper
‚ dessen Grad
sei. In
gilt
, wo
ein Primideal in
bedeutet. Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
. Da das Primideal
in der Gradzahl
des Körpers
nicht aufgeht, so ist dieser Körper
Verzweigungskörper des Primideals
und als solcher nach Satz 81 relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade
, in bezug auf den Trägheitskörper des Primideals
, der
heiße. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem
-ten Grade in
nicht vorkommen können, so hat
genau den Relativgrad
in bezug auf
. Hieraus folgt, daß der Körper
vom Grade
ist. Die Differente des Trägheitskörper
ist nach Satz 76 nicht durch
teilbar, und daher ist, mit Rücksicht auf Satz 68, die Diskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar. Andererseits enthält diese Diskriminante wegen Satz 39 nur solche rationale Primzahlen, welche in der Diskriminante von
aufgehen. Endlich folgt aus Satz 87, daß der aus
und
zusammengesetzte Körper mit
übereinstimmt. Der Körper
besitzt demnach alle im Hilfssatz 17 verlangten Eigenschaften.
Hilfssatz 18. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers
von einem ungeraden Primzahlgrade
ausschließlich die Primzahl
enthält, so stimmt
mit
überein.
Beweis. Wir setzen
und,
‚ wo
eine Primitivzahl nach
bedeute. Schreiben wir überdies
, so ist
ein Primideal in
, und es wird im Sinne der Idealtheorie
; endlich gilt die Kongruenz
|
|
Wir betrachten nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl
. Da das Primideal
in
vom ersten Grade ist, so folgt, wenn
gesetzt wird, in Anbetracht der Gleichung
und nach Satz 24 die Kongruenz
nach
, wobei eine Kongruenz zwischen gebrochenen Zahlen dann bestehen soll, wenn sie sich durch Multiplikation mit einer zum Modul teilerfremden ganzen Zahl in eine gewöhnliche Kongruenz verwandeln läßt. Da
zu
prim ist, so wird der aus
und
zusammengesetzte Körper auch durch
und
bestimmt sein. Wir setzen
nach
, wo
eine ganze rationale Zahl bedeute; dann ist
nach
.
Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß die Kongruenz
nach
besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
nach
, wobei der Exponent
ausfällt und
eine nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl bedeutet.
Wir berücksichtigen, daß nach dem Hilfssatze 15
und folglich auch
die
-te Potenz einer Zahl in
ist; wir setzen
, wo
eine Zahl des Körpers
sei. Diese Gleichung liefert die Kongruenz
nach
. Aus dieser folgt zunächst
nach
, und dies liefert
nach
. Hieraus würde endlich
nach
folgen, was unmöglich ist, da
Primitivzahl nach
sein soll und
ist. Diese Betrachtung lehrt die Richtigkeit der Kongruenz
nach
.
Wir setzen nun
in solcher Weise, daß
eine ganze Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet; es ist dann
nach
. Nehmen wir nun an, der Körper
sei von dem Körper
verschieden, so entsteht durch Zusammensetzung aus
‚
und
der durch
und
bestimmte Körper
vom Grade
. Es ist andererseits
, wie die Gleichung
zeigt, eine ganze Zahl des Körpers
, und die Relativdiskriminante dieser Zahl in bezug auf
ist gleich
, wo
eine Einheit ist. Da
zu
prim ist, so ist mithin die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf den Körper
ebenfalls prim zu
. Bezeichnen wir daher mit
einen idealen Primfaktor von
im Körper
, so besitzt
mit Rücksicht auf Satz 93 in diesem Körper einen Trägheitskörper
, welcher den Grad
hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers
ist prim zu
, und wegen Satz 85 müßte sie daher den Wert
oder
besitzen. Daß es aber einen zyklischen Körper vom Primzahlgrade
mit der Diskriminante
nicht gibt, folgt entweder direkt aus Satz 44 oder mittels Satz 94, wenn wir den in diesem Satze 94 mit
bezeichneten Körper gleich dem Körper der rationalen Zahlen nehmen und die Tatsache berücksichtigen, daß im Körper der rationalen Zahlen alle Ideale Hauptideale sind. Damit ist der Beweis für den Hilfssatz 18 erbracht.
Hilfssatz 19. Wenn ein zyklischer Körper
vom Grade
, wo
gleich einer ungeraden Primzahl
oder gleich
ist, den Körper
bzw.
als Unterkörper enthält, so ist
Unterkörper eines solchen Körpers, welcher aus
bez.
und aus einem gewissen zyklischen Körper
von einem Grade
durch Zusammensetzung entsteht.
Beweis. Es sei
bez.
. Der größte sowohl in
als in
bez.
enthaltene Unterkörper werde mit
bezeichnet;
habe den Grad
, wo
eine positive ganze rationale Zahl
bedeutet. Es sei
eine solche Substitution aus der Gruppe des Körpers
, welche mit ihren Potenzen diese Gruppe erzeugt, und
eine solche Substitution, welche die Gruppe des Körpers
bez.
erzeugt. Setzen wir
und
, so erzeugen
und
beide Male diejenigen Untergruppen vom Grade
, zu denen
als Unterkörper einerseits von
, andererseits von
bez.
gehört. Der aus
und
bez.
zusammengesetzte Körper
ist in bezug auf
vom Relativgrade
und daher überhaupt vom Grade
.
Um die Gruppe
des Körpers
zu ermitteln, bezeichnen wir mit
eine den Körper
und mit
eine den Körper
bez.
bestimmende Zahl und verstehen unter
unbestimmte Parameter. Die Größe
genügt einer Gleichung vom
-ten Grade, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
und
sind, und Welche in dem durch die Parameter
und
bestimmten Rationalitätsbereich irreduzibel ist. Die verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung sind von der Gestalt
,
|
|
wo
gewisse Paare ganzer Zahlen bedeuten. Da einem bekannten Satze zufolge sowohl
wie
sich als rationale Funktionen von
ausdrücken lassen, wobei die Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
und
werden, so sind auch die Größen
ebenso ausdrückbar; wir setzen
|
|
wobei
eine rationale Funktion von
bedeutet, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
sind. Es bezeichne nun
irgendeine Zahl in
oder überhaupt eine rationale Funktion von
, deren Koeffizienten in
liegen; dann wird
gleich einer rationalen Funktion
der Größe
, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
sind. Es drücken sich ferner die zu
konjugierten Größen in der Gestalt
|
|
aus, und das System der betreffenden
Substitutionen
bildet die Gruppe
des Körpers
. Wegen
|
|
wird
,
|
|
und hieraus folgt leicht:
,
|
(41)
|
wenn allgemein die Festsetzung
getroffen wird, falls
und
nach
ist. Aus (41) folgt die Vertauschbarkeit der Substitutionen der Gruppe
, d. h. der Körper
ist ein Abelscher Körper.
Es bezeichne
eine Primitivzahl nach
; da insbesondere
eine zu
konjugierte Zahl ist, so muß es jedenfalls eine Substitution in der Gruppe
geben, bei welcher der zweite Index
nach
ist. Wir setzen eine solche Substitution
. Der Grad der aus
erzeugten zyklischen Gruppe ist
. Es kann ferner leicht erkannt werden, daß alle diejenigen Substitutionen der Gruppe
, bei denen der zweite Index
nach
ausfällt, für sich eine zyklische Untergruppe vom Grade
bilden. Es sei
eine erzeugende Substitution dieser zyklischen Gruppe. Die Gruppe
entsteht dann offenbar durch Zusammensetzung aus den
Potenzen von
und den
Potenzen von
. Zu der aus den Potenzen von
bestehenden Untergruppe gehört offenbar im Körper
der zyklische Unterkörper
bez.
. Zu der aus
erzeugten Gruppe gehört in
ein gewisser zyklischer Unterkörper
vom Grade
. Die beiden Körper
bez.
und
haben keinen gemeinsamen Unterkörper außer dem Körper der rationalen Zahlen, und der Körper
entsteht daher durch Zusammensetzung aus diesen beiden zyklischen Körpern. Damit ist der Hilfssatz 19 vollständig bewiesen.
§ 104. Beweis des Fundamentalsatzes über Abelsche Körper.
Wir beweisen nunmehr den Fundamentalsatz 131 in folgender Art. Zunächst ist in § 48 festgestellt worden, daß jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern zusammensetzen läßt, deren Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind; es ist daher nur nötig, zu zeigen, daß jeder zyklische Körper
von einem Grade
, wo
eine Primzahl bezeichnet, ein Kreiskörper ist.
Um diesen Beweis zu führen, nehmen wir an, es sei bereits die Richtigkeit des Fundamentalsatzes 131 für alle diejenigen Abelschen Körper erkannt, deren Grad eine niedere Potenz von
als
ist.
Es werde nun der in
enthaltene Unterkörper vom
-ten Grade
ins Auge gefaßt. Nehmen wir an, daß die Diskriminante von
eine von
verschiedene rationale Primzahl
enthält, so ist nach Satz 39 auch die Diskriminante von
durch
teilbar. Ferner existiert nach Hilfssatz 17 ein Abelscher Körper
vom Grade
der Art, daß
Unterkörper des aus
und dem Kreiskörper
zusammengesetzten Körpers wird. Ist dann
ein zyklischer Körper von niederem als
-ten Grade oder aus mehreren solchen zyklischen Körpern zusammengesetzt, so erweist sich
auf Grund unserer Annahme als Kreiskörper, und mithin ist auch
ein Kreiskörper. Es ist demnach nur noch der Fall in Betracht zu ziehen, daß
ausfällt und
ein zyklischer Körper vom Grade
ist. Wie der vorhin angewandte Hilfssatz 17 aussagt, enthält die Diskriminante von
nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante von
aufgehen, aber nicht die Primzahl
; die Diskriminante von
enthält also mindestens eine rationale Primzahl weniger als die Diskriminante von
.
Wir bezeichnen den Unterkörper
-ten Grades von
mit
. Geht dann in der Diskriminante von
noch eine von
verschiedene rationale Primzahl
auf, so können wir auf den Körper
das nämliche Verfahren anwenden, das wir soeben für den ursprünglich vorgelegten Körper
dargelegt haben, und gelangen dann entweder zu der Einsicht, daß
ein Kreiskörper ist, oder wir werden auf einen zyklischen Körper
vom Grade
geführt, dessen Diskriminante wieder mindestens eine rationale Primzahl, nämlich die Primzahl
, weniger enthält als die Diskriminante des Körpers
. Das so eingeleitete Verfahren führt nach einer gewissen Anzahl
sich folgender Anwendungen entweder auf einen Körper
, der sich auf Grund unserer Annahme bereits als Kreiskörper erweist, oder wir gelangen schließlich zu einem zyklischen Körper
vom Grade
von der Art, daß der in
enthaltene Unterkörper
vom
-ten Grade eine Diskriminante besitzt, welche keine rationale Primzahl oder nur die Primzahl
enthält. Da es nach den Bemerkungen auf S. 213 einen zyklischen Körper
-ten Grades mit der Diskriminante
nicht gibt, so tritt notwendig der letztere Umstand ein.
Wir unterscheiden nunmehr zwei Fälle, je nachdem
eine ungerade Primzahl
oder gleich 2 ist.
Im ersteren Falle stimmt nach Hilfssatz 18
mit
überein.
Im zweiten Falle
ist, wenn
ausfällt, der Körper
entweder gleich
oder gleich
und mithin offenbar ein Kreiskörper. Für
erweist sich jedoch
stets gleich
. Ist nämlich
ein reeller Körper, so ist offenbar auch
reell, und daraus folgt die Behauptung. Ist jedoch
ein imaginärer Körper, so bilden die sämtlichen reellen Zahlen desselben einen reellen Unterkörper vom Grade
, und da
notwendig in diesem reellen Körper enthalten ist, so ist
ebenfalls reell und stimmt also mit
überein.
In den beiden oben unterschiedenen Fällen ist somit, wenn wir von
,
absehen, stets der Körper
bez.
. Nach Hilfssatz 19 ist infolgedessen
Unterkörper eines Körpers, der sich aus
bez.
und einem zyklischen Körper
vom Grade
zusammensetzt. Da nun der Fundamentalsatz 131 zyklische Körper von der letzteren Beschaffenheit bereits als bewiesen angenommen worden ist, so erweist sich auch
als Kreiskörper. Damit ist der Fundamentalsatz 131 vollständig bewiesen, und zugleich ist ersichtlich, in welcher Weise man alle Abelschen Körper von gegebener Gruppe und gegebener Diskriminante aufstellen kann.