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	Kurd von Mosengeil: Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum

Verteilung auf die einzelnen Richtungen, wie sie der stationären Strahlung und Gleichung (11*) entspricht. Die Energie eines Strahlelementes wird alsdann betragen:

${\frac {1}{c}}K(\vartheta ,v+\Delta v)d\Omega \ dV,$

vor der Reflexion muß sie zufolge (16) gewesen sein:

${\frac {1}{c}}K(\vartheta ,v+\Delta v)d\Omega \ dV\left(1-{\frac {v+\Delta v}{c}}\cos \vartheta \right).$

Durch Integration dieses Ausdruckes über $\Omega$ und $V$ finden wir einen zweiten Ausdruck für $E$:

(19)	$E=\int \int {\frac {1}{c}}K(\vartheta ,v+\Delta v)d\Omega \ dV\left(1-{\frac {v+\Delta v}{c}}\cos \vartheta \right).$

Setzen wir für $d\Omega$ seinen Wert $\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\varphi$ und den Wert von $K(\vartheta ,v+\Delta v)$ aus (11*) ein, so wird nach Ausführung der Integration nach $\varphi$ und $V$:

$E={\frac {2\pi V}{c}}{\overset {\pi }{\underset {0}{\int }}}K\left({\frac {\pi }{2}},v+\Delta v\right){\frac {\sin \vartheta \ d\vartheta }{\left(1-{\frac {v+\Delta v}{c}}\cos \vartheta \right)^{2}}}.$

Führt man auch noch die Integration nach $\vartheta$ aus, so wird:

(20)	$E={\frac {4\pi V}{c}}K\left({\frac {\pi }{2}},v+\Delta v\right){\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v+\Delta v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}.$

Durch Vergleich von (18) und (20) erhält man, wenn man gleichzeitig nach $\Delta v$ entwickelt:

$K\left({\frac {\pi }{2}},v\right)\left\{{\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}-{\frac {4}{3}}{\frac {v}{c}}{\frac {\Delta v}{c}}{\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}\right\}$ $=K\left({\frac {\pi }{2}},v\right)\left\{{\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}+4{\frac {v\Delta v}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}\right\}$ $+{\frac {\partial K\left({\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial v}}\cdot {\frac {\Delta v}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}.$

Hieraus herechnet sich:

${\frac {\partial K\left({\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial v}}=-{\frac {16}{3}}{\frac {v}{c^{2}\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)}}K\left({\frac {\pi }{c}},v\right).$

Empfohlene Zitierweise:
Kurd von Mosengeil: Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum. J.A. Barth, Leipzig 1907, Seite 880. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Theorie_der_stationaeren_Strahlung.djvu/14&oldid=- (Version vom 1.8.2018)