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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

$=-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)x^{s}ds$

$=\int \limits _{\infty }^{x}{\frac {x^{\beta -1}}{\log x}}dx+{\text{const. im ersten}}$

${\text{und}}=\int \limits _{0}^{x}{\frac {x^{\beta -1}}{\log x}}dx+{\text{const. im zweiten Falle.}}$

Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von $\beta$ negativ unendlich werden läßt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis $x$ um $2\pi i\,$ verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positiven oder negativen Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von $i$ in dem Werthe von $\beta$ positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite $\log(1-{\tfrac {s}{\beta }})$ zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck für $\,f(x)$ erhält man

$f(x)=Li(x)-\sum ^{\alpha }\left(Li\left(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i}\right)+Li\left(x^{{\frac {1}{2}}-\alpha i}\right)\right)$ $+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-1}}{\frac {dx}{x\log x}}+\log \xi (0),$^[1]

wenn in $\sum ^{\alpha }\,$ für $\alpha$ sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung $\xi (\alpha )=0\,$, ihrer Größe nach geordnet, gesetzt werden. Es läßt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function $\xi$, leicht zeigen, daß bei dieser Anordnung der Werth der Reihe

$\sum \left(Li\left(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i}\right)+Li\left(x^{{\frac {1}{2}}-\alpha i}\right)\right)\log x$

mit dem Grenzwerth, gegen welchen

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-bi}^{a+bi}{\frac {d{\frac {1}{s}}\sum \log \left(1+{\frac {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\alpha \alpha }}\right)}{ds}}x^{s}ds$

1. Riemann schreibt fälschlich $\log \xi (0)\,$ anstelle von $-\log 2$. Da er $\xi \,$ für die Bezeichnung einer anderen Funktion verwendet, bedeutet sein $\xi (0)\,$ eigentlich $\xi ({\tfrac {1}{2}})\neq {\tfrac {1}{2}}\,$. Dieser Fehler wurde zu Lebzeiten Riemanns entdeckt von Angelo Genocchi (1817–1889): Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata 3 (1860), S. 52-59. (Digitalisat, italienisch) Vgl. Harold M. Edwards: Riemann's Zeta Function. New York: Academic Press, 1974, S. 31.

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 678. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)