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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

$f(x)=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d{\frac {\log \zeta (s)}{s}}}{ds}}x^{s}ds$

umzuformen.

Da

$-\log \prod {\frac {s}{2}}=\lim \left(\sum _{n=1}^{n=m}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)-{\frac {s}{2}}\log m\right),\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;m=\infty ,$

also

$-{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \prod {\frac {s}{2}}}{ds}}=\sum _{1}^{\infty }{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)}{ds}},$

so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdrucks für $f(x)\,$ mit Ausnahme von

${\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {1}{ss}}\log \xi (0)x^{s}ds=\log \xi (0)$

die Form

$\pm {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d\left({\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)\right)}{ds}}x^{s}ds.$

Nun ist aber

${\frac {d\left({\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)\right)}{d\beta }}={\frac {1}{(\beta -s)\beta }}$

und, wenn der reelle Theil von $s$ größer als der reelle Theil von $\beta$ ist,

${\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {x^{s}ds}{(\beta -s)\beta }}&={\frac {x^{\beta }}{\beta }}&=\int \limits _{\infty }^{x}x^{\beta -1}dx,\\&\;{\text{oder}}&=\int \limits _{0}^{x}x^{\beta -1}dx,\end{aligned}}$

je nachdem der reelle Theil von $\beta$ negativ oder positiv ist. Man hat daher

${\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d\left({\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)\right)}{ds}}x^{s}ds$

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 677. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)