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und es folgt somit aus der vorhergehenden Relation, daß
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ist.
3.
Aus dem zuletzt gewonnenen Resultat kann der gewünschte Beweis durch Wiederholung hergestellt werden. Ich nehme noch weitere Argumente an; die zugehörigen positiven Gewichte seien . Zur Abkürzung werde außerdem
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gesetzt.
Nun ist
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Durch Addition erhält man hieraus
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womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist.
Aus der Art der Herleitung ergiebt sich, daß in der letzten Ungleichung das Zeichen im strengen Sinn zu nehmen, d. h. die Gleichheit auszuschließen ist, vorausgesetzt, daß die Function wirklich stets zunimmt, also in keinem Intervall constant ist, daß ferner die Argumente nicht alle einander gleich sind und die Größen sämmtlich einen von Null verschiedenen Werth haben. Tritt eine der genannten Ausnahmen ein, so ist an Stelle des Zeichens das Zeichen zu setzen.
Ein analoger Satz besteht unter der Voraussetzung, daß eine abnehmende Function ist; man hat dann das Zeichen in das Zeichen zu verwandeln.