gebildeten Mittelwerth der zugehörigen Argumente entspricht. Dabei ist der Begriff des arithmetischen Mittels gleich in der allgemeinen Weise zu nehmen, daß jedem der Werthe, aus welchen dasselbe zu bilden ist, eine beliebige positive Größe als Gewicht zugeordnet wird, so daß also die Formel
|
|
den Ausdruck des genannten Satzes darstellt.
2.
Um diesen Satz zu beweisen, beginne ich mit dem Fall, in welchem zwei Argumente und vorhanden sind. Der Mittelwerth werde mit bezeichnet,
|
|
wo und positive Größen bedeuten.
Der Einfachheit wegen möge angenommen werden, daß die Größe die kleinere sei, so daß also
|
|
ist. Nach dem Fundamentalsatz der Differentialrechnung ist nun
|
|
wo einen unbekannten Mittelwerth aus den Werthen von im Intervall bedeutet. Man findet daher
|
|
und ganz ebenso
|
|
Indem man jetzt mit beziehungsweise mit multiplicirt und dann addirt, ergeben die beiden letzten Gleichungen die Relation
|
|
Nach Voraussetzung ist der Differentialquotient eine zunehmende Function, es ist also auch