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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Je näher nun Q an P rückt, desto kleiner wird der Winkel PSQ, und im Fall dieser verschwindend klein geworden ist, wird

$\scriptstyle \angle$ SVP = SPV = 90°, also 1. $\scriptstyle \angle$ PVQ = PSO.

Ferner ist im letztern Falle $\scriptstyle \angle$ SPV = QPO = 90°, und zieht man hiervon ab $\scriptstyle \angle$ SPQ = SPQ, so bleibt 2. $\scriptstyle \angle$ QPV = OPS.

Es sind daher in den Dreiecken VPQ und OPS zwei Winkel einander gleich, mithin auch $\scriptstyle \angle$ POS = PQV = SVQ.

No. 136. S. 277. Siehe erstes Buch, § 18, Zusatz 1.

No. 137. S. 278. Es wird alsdann ½VQ = ½PQ oder VQ = PQ. Der Körper nähert sich daher dem Centrum um eben so viel, als er sich fortbewegt. Die Bewegung erfolgt demnach längs PS.

No. 138. S. 278. Dies Verhältniss ist mit dem PQ : VQ identisch. (Gl. 8.)

No. 139. S. 279. Das Verhältniss PS : OS ist nach dem Lehrsatz = PV : VQ. In so fern nun $\scriptstyle \angle$ PSV sehr klein ist, wird PV gleich dem aus S mit SP geschlagenen Bogen, und daher jenem Winkel proportional, während VQ die entsprechende Annäherung des Körpers zum Centrum S bezeichnet. Hieraus ergiebt sich, wenn der Winkel, welchen der Körper beschreiben muss, um von der einen Peripherie zur andern zu gelangen, durch α und der Abstand beider Peripherien durch a bezeichnet wird, α : PSV =a : VQ oder α = a ·$\scriptstyle {\frac {PSV}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {VP}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {PS}{OS}}$.

Das Verhältniss OP : OS ergiebt sich als der Zeit proportional unmittelbar aus Zusatz 5.

No. 140. S. 279. (Fig. 162.) Da nämlich AS : BS = BS : CS = CS : DS = etc. so wird auch

AS^3/2 : BS^3/2 = BS^3/2 : CS^3/2 = CS^3/2 : DS^3/2 = etc. Setzt man nun etwa $\scriptstyle {\frac {AS^{\frac {3}{2}}}{BS^{\frac {3}{2}}}}$ = q, so wird AS^3/2 + BS^3/2 + CS^3/2 + DS^3/2 + .... in inf. =

$\scriptstyle AS^{\frac {3}{2}}\left[1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+\dots \ in\ inf.\right]$

und so

AS^3/2 + BS^3/2 + CS^3/2 ... in inf. : AS^3/2 = q : q — 1 = AS^3/2 : AS^3/2 — BS^3/2 = AS^3/2 : AS^3/2 — (AS — AB)^3/2 = AS^3/2 : AS^3/2 — AS^3/2 + 3/2$\scriptstyle {\sqrt {AS}}$ · AB ... = AS : 3/2>AB = ⅔AS : AB

um so näher, je kleiner AB ist, indem alsdann die höhern Potenzen von AB vernachlässigt werden können.

No. 141. S. 280. Die Centripetalkraft ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$, ferner das Stück TQ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ · t² (wie in §. 22., wo t die Zeit bezeichnet), also t umgekehrt proportional $\scriptstyle {\sqrt {TQ\cdot SP^{n+1}}}={\sqrt {PQ^{2}SP^{n}}}$ (§. 20.) = PQ · SP^½n. Ferner der Widerstand in P proportional $\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}$. Da nun PQ : QR = $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}:{\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}=QS:{\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ und PQ : Qr = QS : SP, so wird PQ : Rr = QS : $\scriptstyle {\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 603. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/611&oldid=- (Version vom 1.8.2018)