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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Fig. 235.

1.   $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

Nun verlege man den Anfangspunkt der Coordinaten nach F, so dass CF = α sei; alsdann wird, wenn die Richtung der Coordinaten unverändert bleibt, die Abscisse FJ = CL = x, die Ordinate HJ = y¹ = y — α, und daher nach 1. die Gleichung in Bezug auf die neuen Coordinaten

2.   $\scriptstyle \left(y^{1}+\alpha \right)^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

Aus 1. und 2. folgt

  $\scriptstyle y^{1}+2\alpha y^{1}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

oder

3.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

Aus 3. folgt aber für y¹ = 0

4.   $\scriptstyle x^{2}=EF^{2}=FG^{2}=\gamma ^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)$

und hieraus $\scriptstyle \alpha ^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-\gamma ^{2}\right)$. Substituirt man diesen Werth von α² in Gl. 3., so ergiebt sich

5.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(\gamma ^{2}-x^{2}\right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(\gamma +x)(\gamma -x)$.

Da nun y¹ = HJ, γ + X = EJ, y¹ + 2α = JK, γ — x = JG, so wird $\scriptstyle {\frac {HJ\cdot JK}{EJ\cdot JG}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\mathsf {Constans}}$.

Fig. 236.

No. 28 S. 92. Ist ABDC das gegebene Viereck, und A + D = 180°, B + C = 180°, PQ $\scriptstyle \parallel$ AC, ST $\scriptstyle \parallel$ AB; so hat man in diesem Falle PQ · PR = PS · PT. Sind nun Pg, Pr, Ps, Pt respective perpendikulär auf AB, CD, AC, BD; so wird $\scriptstyle \angle$ S = A = Q; sin R = sin SCD = sin B = sin T, mithin

PQ sin Q · PR sin R = PS sin S · PT sin T

und entweder

PQ · PR : PS · PT = sin S · sin T : sin Q sin R

oder

Pq · Pr = Ps · Pt.

Fig. 237.

No. 29. S. 101. Um die Linie dg zu construiren, verbinde man G mit O, ziehe aus d die Linie dg' $\scriptstyle \parallel$ DG, ziehe unter dem gegeben Winkel mit BL hier dg' die Linie dg und mache dg = dg', alsdann ist offenbar g'd : GD = Od : OD oder gd : Od = GD : OD.

No. 30. S. 106. Es ist nämlich, wenn man AC = a, CD = b, AL = x, JL = y setzt (Fig. 58). $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2ax-x^{2}\right)$, und $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {a-x}{y}}$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 583. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/591&oldid=- (Version vom 2.12.2022)