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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

und es ist daher g · 2r = a² oder 2g = $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{r}}$ , d. h. die Schwerkraft identisch mit der Centripetalkraft. Demnach $\scriptstyle f={\frac {a^{2}}{2r}}\cdot t^{2}$ und für t = 1 a² = 2r · f.

Fig. 225.

No. 9. S. 61. Bezeichnet Pp die Geschwindigkeit in P, Qq die Geschwindigkeit in q, wobei die kleinen Stücke Pp und Qq der Tangenten statt der Bogen gesetzt sind; sind ferner SM und SN die Perpendikel auf die Tangente: so ist Fläche SPp = ½Pp · SM, Fläche SQq = ½Qq · SN, also SPp : SQq = Pp · SM : Qq · SN. Nach §. 13. sind aber SPp und SQq den Zeiten proportional, und im vorliegenden Falle einander gleich und mit der Zeiteinheit identisch. Daher Pp · SM = Qq · SN oder Pp : Qq = SN : SM. Nach der Construction ist Pp : Qq = QB : AP = DQ' : DP' (Fig. 17).

Fig. 226.

Angenommen nun, die Linie TS träfe DP' nicht in D, sondern in einem am x davon entfernten Punkte F; so denke man sich ein Perpendikel FG auf TN gefällt. Es würde dann leicht folgen SM : DP' + x = SN : FG und da oben SM : DF = SN : DQ' jetzt DP' + x : DP' = FG : DQ'. Dies ist aber nicht möglich, weil DP' + x > DP' und FG < DQ; es muss daher TS durch D gehen.

No. 10. S. 62. Die Centripetalkraft verhält sich daher (nach §. 21.) direct wie $\scriptstyle {\frac {QR}{SP^{2}\cdot \ QT^{2}}}$ und indirect wie der Körper $\scriptstyle {\frac {SP^{2}\cdot \ QT^{2}}{QR}}$ .

Fig. 227.

No. 11. S. 63. Eigentlich hat man, wenn PR eine Tangente in P ist, VP : PR = PQ : PR und daher $\scriptstyle VP={\frac {PR\ \cdot \ PQ}{QR}}$ . Ist aber der Bogen PQ verschwindend klein, so wird QR ∥ VP, PR = PQ = $\scriptstyle \frown$ PQ und so $\scriptstyle VP={\frac {PQ^{2}}{QR}}$ .

No. 12. S. 67. Sind in der Ellipse oder Hyperbel a' und b' conjugirte Halbmesser, α der Coordinatenwinkel, a und b die halben Hauptaxen, so ist bekanntlich a'b' sin α = ab.

No. 13. S. 67. Setzt man Pv = x', Qv = y', DC = b', CP = a', so stimmt die Proportion Pv · vG : Qv² = PC² : CD² (Fig. 23.) mit der bekannten Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y'^{2}={\frac {b'^{2}}{a'^{2}}}\left(2a'x'-x'^{2}\right)$ überein.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 579. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/587&oldid=- (Version vom 1.8.2018)