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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

entwickelt man nach der obigen Methode, so ist die Centripetalkraft proportional :

10.   $\scriptstyle {\frac {bT^{m}-mbXT^{m-1}+{\frac {m^{2}-m}{2}}bX^{2}T^{m-2}+etc.+cT^{n}-ncXT^{n-1}+{\frac {n^{2}-n}{2}}cX^{2}T^{n-2}etc.}{A^{3}}}$ etc.

Vergleicht man die Glieder dieser Zahlen mit den in 3. enthaltenen, so ergiebt sich

11.   (RG² — RF² + TF²) : (bT^m + cTⁿ, = - F² : (- mbT^m-1 — ncT^n-1 + $\scriptstyle {\frac {m^{2}-m}{2}}$ bXT^m-2 + $\scriptstyle {\frac {n^{2}-n}{2}}$ cXT^n-2 ...)

Nimmt man die letzten Verhältnisse, welche sich ergeben, wenn die Bahnen in die Kreisform übergehen so erhält man

12.   G² : bT^m-1 + cT^n-1 = F² : (mbT^m-1 + ncT^n-1).

Versetzt man die Innern Glieder, und bezeichnet nun die grösste Entfernung

CV = T

arithmetisch durch die Einheit so ergiebt sich

13. $\scriptstyle \angle$VCp : VCP = $\scriptstyle {\sqrt {b+c}}:{\sqrt {mb+nc}}$.

Ist daher der Winkel VCP in der festen Ellipse zwischen der obern und untern Apside

= 180°,

so ist der Winkel VCp zwischen denselben Apsiden in derjenigen Bahn, welche der Körper vermöge einer der Zahl $\scriptstyle {\frac {bA^{m}+cA^{n}}{A^{3}}}$ proportionalen Centripetalkraft beschreibt.

14.   = 180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {b+c}{mb+nc}}}$.

Auf dieselbe Weise erhält man diesen Winkel für eine, der Zahl

$\scriptstyle {\frac {b\cdot A^{m}-c\cdot A^{n}}{A^{3}}}$

proportionale Centripetalkraft

15.   = 180° $\scriptstyle {\sqrt {\frac {b-c}{mb-nc}}}$.

Eben so wird die Aufgabe in schwierigeren Fällen gelöst. Die Grösse, welcher die Centripetalkraft proportional ist, muss immer in convergirende Reihen aufgelöst werden, deren Nenner = A³ ist. Hierauf muss man den gegebenen Theil dieses Zählers

R · G² - R · F² + T · F² - X · F²

zu dem nicht gegebenen Theil in dasselbe Verhältniss stellen. Lässt man dann die überflüssigen Glieder fort und setzt man

T = 1;

so erhält man das Verhältniss

G : F.

Zusatz 1. Ist daher die Centripetalkraft irgend einer Potenz der Entfernung proportional, so kann man diese Potenz aus der Bewegung

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 150. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/158&oldid=- (Version vom 1.8.2018)