und berechnen ihre partiellen Ableitungen nach
und
: Wir finden (aus einer Änderung des Feldes um
,
,
,
):
![{\displaystyle {\frac {\delta L}{4\pi }}={\frac {\mathfrak {E}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {D}}+{\frac {\mathfrak {D}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {E}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {BD}})}{\partial {\mathfrak {B}}}}\delta {\mathfrak {B}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {BD}})}{\partial {\mathfrak {D}}}}\delta {\mathfrak {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5697940b62c442f1b91468fe0ee853dded9d33b)
oder nach (2,10):
![{\displaystyle {\frac {\delta L}{4\pi }}={\frac {\mathfrak {D}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {E}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {B,D}})}{\partial {\mathfrak {B}}}}\delta {\mathfrak {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e09e4cb9c7abc92818f5d8d6740e0a1e143b9)
,
also:
(2,15)
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und wegen (2,11):
(2,16)
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und sehen, daß diese partiellen Ableitungen von
durch Gl. (2,12) verknüpft sind zu einer Differentialgleichung für
(2,17)
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,
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welche äquivalent ist mit dem Variationsprinzip:
(2,18)
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für die Lagrangefunktion
unter den Nebenbedingungen (2,1) oder (2,2). Die Lagrangeschen Gleichungen (2,1; 2,15; 2,16; 2,18), die ebenso wie die Hamiltonschen Gleichungen (2,1; 2,10; 2,11; 2,12) den Ablauf des Feldes bestimmen, sollen nun ihren Inhalt bekommen durch Aufstellung einer Lagrangefunktion
, welche eine Lorentz- und Spiegelinvariante sein muß.
Alle Lorentzinvarianten des antisymmetrischen Tensors
müssen Funktionen der beiden Lorentzinvarianten
und
sein, von denen aber die zweite nicht spiegelinvariant ist.
Im niedrigsten zweiten Grade gibt es also nur die Lorentz- und Spiegelinvariante
, die als Lagrangefunktion nach (2,15; 2,16; 2,18) zu den bekannten linearen Maxwellschen Vakuumgleichungen
und (2,4) führt.
Im nächsthöheren vierten Grade können nur die Lorentz- und Spiegelinvarianten
und
gebildet werden. Also entspricht der allgemeinsten bis zur 4. Ordnung in den Feldstärken korrigierten Hamiltonfunktion (2,13) eine Lagrangefunktion
(2,19)
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Worin
und
Zahlenkoeffizienten sind.