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	Max Abraham: Dynamik des Electrons

21a)	$\varphi ={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot {\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D}}$.

Mithin ist die electrostatische Energie

22)	$U'={\frac {1}{2}}e\varphi '={\frac {e^{2}}{4}}\cdot {\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D}}$

bei Flächenladung. Bei Volumladung hingegen wird

22a)	$U'={\frac {1}{2}}\int \int \int dv'\varrho '\varphi '={\frac {3}{8}}\cdot e\cdot {\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D}}\cdot J$,

wo J das über das ganze Ellipsoid erstreckte Integral

22b)	$J=\int \int \int dv'\varrho '\left(1-{\frac {x'^{2}}{a'^{2}+s}}-{\frac {y'^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z'^{2}}{c^{2}+s}}\right)$

bezeichnet. Nun gilt

$\int \int \int dv'\varrho '=\int \int \int dv\ \varrho =e$;

ferner zeigt eine z. B. bei der Berechnung der Trägheitsmomente homogener Ellipsoide gebräuchliche Betrachtung, daß zu setzen ist

$\int \int \int dv'\varrho 'x'^{2}={\frac {1}{5}}\cdot e\cdot a'^{2}$, $\int \int \int dv'\varrho 'y'^{2}={\frac {1}{5}}\cdot e\cdot b^{2}$, $\int \int \int dv'\varrho 'z'^{2}={\frac {1}{5}}\cdot e\cdot c^{2}$.

Mithin folgt, bei Volumladung

22c)	$U'={\frac {3}{8}}\cdot e^{2}\cdot {\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {dx}{D}}\left(1-{\frac {1}{5}}{\frac {x'^{2}}{a'^{2}+s}}-{\frac {1}{5}}{\frac {b^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {1}{5}}{\frac {c^{2}}{c^{2}+s}}\right)$

Dieser Ausdruck läßt sich vereinfachen; setzen wir, abkürzend

${\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {dx}{D}}=f(a'^{2},b^{2},c^{2})$,

so ist

${\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D(a'^{2}+s)}}=-2\cdot {\frac {\partial f}{\partial a'^{2}}}$, ${\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}}=-2\cdot {\frac {\partial f}{\partial b^{2}}}$, ${\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}=-2\cdot {\frac {\partial f}{\partial c^{2}}}$.

Führen wir diese Relationen in (22c) ein, so erhalten wir

22d)	$U'={\frac {3}{8}}\cdot e^{2}\left\{f+{\frac {2}{5}}\left(a'^{2}{\frac {\partial f}{\partial a'^{2}}}+b^{2}{\frac {\partial f}{\partial b^{2}}}+c^{2}{\frac {\partial f}{\partial c^{2}}}\right)\right\}$.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Dynamik des Electrons. , Berlin 1902, Seite 35. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Dynamik_des_Electrons.djvu/16&oldid=- (Version vom 31.7.2018)