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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

enthaltenen Unterkörpers $L_{1}$ vom $l$-ten Grade ebenfalls keine Primteiler $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$. Wenden wir nun den Satz 4 an und berücksichtigen, daß nach einem von Minkowski^[1] bewiesenen Satze jede Diskriminante Primzahlen als Faktoren enthalten muß, so folgt, daß die Diskriminante des Körpers $L_{1}$ notwendig eine positive Potenz von $l$ ist.

Wir unterscheiden beim weiteren Beweise 2 Fälle, je nachdem $l=u$ eine ungerade Primzahl oder $l=2$ ist. Im ersteren Falle ist nach Satz 5 der Körper $L_{1}=U_{1}$. Bezeichnen wir ferner die in $L_{h}$ enthaltenen Unterkörper $l^{2}$-ten, $l^{3}$-ten, …, $l^{h-1}$-ten Grades bezüglich mit $L_{2}$, $L_{3}$, …, $L_{h-1}$, so schließen wir aus eben demselben Satze 5 der Reihe nach $L_{2}=U_{2}$, $L_{3}=U_{3}$, …,$L_{h}=U_{h}$ und folglich ist $L_{h}$ ein Kreiskörper. Im zweiten Falle bilden wir zunächst den aus dem imaginären quadratischen Körper $k(i)$ und aus $L_{h}$ zusammengesetzten Körper $M_{h'}=k(i,\,L_{h})$; derselbe ist vom $2^{h}$-ten oder $2^{h+1}$-ten Grade, je nachdem $L_{h}$ imaginär oder reell ausfällt. Der größte reelle Unterkörper dieses Körpers $M_{h'}$ ist vom $2^{h'}$-ten Grade, wo $h'=h-1$ oder gleich $h$ ist; derselbe ist notwendig ein zyklischer Körper. Der in $M_{h'}$ enthaltene quadratische Unterkörper $M_{1}$ ist ebenfalls reell und stimmt, da seine Diskriminante eine Potenz von $2$ ist, mit $Z_{1}=k({\sqrt {2}})$ überein. Bezeichnen wir nun die in $M_{h}$ enthaltenen Unterkörper $2^{2}$-ten, $2^{3}$-ten, … Grades bezüglich mit $M_{2}$, $M_{3}$, …, so folgt nach Satz 6 der Reihe nach $M_{2}=Z_{2}$, $M_{3}=Z_{3}$, …, $M_{h'}=Z_{h'}$ und folglich ist $M_{h'}$ ebenfalls ein Kreiskörper. Damit ist der Fundamentalsatz vollständig bewiesen und zugleich ist ersichtlich, in welcher Weise man alle Abelschen Körper von gegebener Gruppe und Diskriminante aufstellen kann.

     Göttingen, den 25. Januar 1896.

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1. J. Math. 107, 295 (1891).

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 62. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/79&oldid=- (Version vom 29.8.2018)