Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/79

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

enthaltenen Unterkörpers vom -ten Grade ebenfalls keine Primteiler mit der Kongruenzeigenschaft nach . Wenden wir nun den Satz 4 an und berücksichtigen, daß nach einem von Minkowski[1] bewiesenen Satze jede Diskriminante Primzahlen als Faktoren enthalten muß, so folgt, daß die Diskriminante des Körpers notwendig eine positive Potenz von ist.

Wir unterscheiden beim weiteren Beweise 2 Fälle, je nachdem eine ungerade Primzahl oder ist. Im ersteren Falle ist nach Satz 5 der Körper . Bezeichnen wir ferner die in enthaltenen Unterkörper -ten, -ten, …, -ten Grades bezüglich mit , , …, , so schließen wir aus eben demselben Satze 5 der Reihe nach , , …, und folglich ist ein Kreiskörper. Im zweiten Falle bilden wir zunächst den aus dem imaginären quadratischen Körper und aus zusammengesetzten Körper ; derselbe ist vom -ten oder -ten Grade, je nachdem imaginär oder reell ausfällt. Der größte reelle Unterkörper dieses Körpers ist vom -ten Grade, wo oder gleich ist; derselbe ist notwendig ein zyklischer Körper. Der in enthaltene quadratische Unterkörper ist ebenfalls reell und stimmt, da seine Diskriminante eine Potenz von ist, mit überein. Bezeichnen wir nun die in enthaltenen Unterkörper -ten, -ten, … Grades bezüglich mit , , …, so folgt nach Satz 6 der Reihe nach , , …, und folglich ist ebenfalls ein Kreiskörper. Damit ist der Fundamentalsatz vollständig bewiesen und zugleich ist ersichtlich, in welcher Weise man alle Abelschen Körper von gegebener Gruppe und Diskriminante aufstellen kann.

     Göttingen, den 25. Januar 1896.


  1. J. Math. 107, 295 (1891).
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 62. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/79&oldid=- (Version vom 29.8.2018)