oder
hat. Ist
, so berücksichtigen wir, daß für
die Kongruenz
nach
gilt. setzen wir daher
, so wird
nach
,wo
den Wert
oder
hat. Wegen
nach
folgt:
|
,
|
d. h. für
, bezüglich für
:
|
,
|
|
, .
|
Die rechte Seite der ersteren Kongruenz kann nicht
nach
sein; soll die rechte Seite der zweiten Kongruenz
nach
sein, so muß
werden, da
, wie leicht ersichtlich, der kleinste unter allen ungeraden
Exponenten
ist derart, daß
nach
werden kann. Wegen
ist unsere obige Behauptung bewiesen.
Wir setzen
nach
, wo
den Wert
oder
hat. Es
genügt folglich, wenn
gesetzt wird, die Zahl
, gegebenenfalls nach
Multiplikation mit dem Quadrat einer geeigneten Zahl aus
, der Kongruenz
nach
. Die Zahlen
und
definieren stets einen zyklischen Körper
vom Grade
. Denn im Falle
stimmt
mit
überein
und im Falle
enthält der Körper
, da er imaginär ist, sicher noch andere Zahlen, als in
vorhanden sind. Da
eine ganze Zahl ist, deren Partialdiskriminante in bezug auf
zu
prim ausfällt, so ist die
Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Es ist daher die Zahl
im Körper
nicht gleich der
-ten Potenz eines Primideals. Bezeichnet
ein in
enthaltenes Primideal des Körpers
, so muß der Trägheitskörper von
in
den zweiten Grad besitzen; dieser Trägheitskörper
müßte daher gleich
sein, was nicht möglich ist, da die Diskriminante von
eine Potenz von
ist. Damit ist unsere ursprüngliche Annahme widerlegt,
d. h. es ist bewiesen, daß die beiden Körper
und
miteinander identisch
sind.
Wir beweisen nunmehr den Kroneckerschen Fundamentalsatz in folgender
Art. Zunächst ist leicht aus der Theorie der Abelschen Gruppen ersichtlich,
daß ein jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern
zusammensetzen läßt, deren Grade die Potenzen
einer Primzahl
sind; es ist daher
nur nötig, zu zeigen, daß ein jeder solcher zyklische Körper
ein Kreiskörper ist. Infolge des Satzes 3 wird dieser Nachweis auf den Fall zurückgeführt, in welchem die Diskriminante des vorgelegten zyklischen Körpers
keine Primzahlen
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
enthält.
Ist
ein zyklischer Körper dieser Art, so besitzt die Diskriminante des in