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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/65

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Diesen 3 Substitutionen entsprechen 3 in enthaltene quadratische Zahlkörper: alle Zahlen nämlich, welche bei Anwendung von ungeändert bleiben, bilden den durch bestimmten quadratischen Körper und alle bei Anwendung der Substitution bezüglich ungeändert bleibenden Zahlen des Körpers bilden je einen quadratischen Körper, nämlich den durch bezüglich durch bestimmten quadratischen Zahlkörper; der erstere möge mit , der zweite mit bezeichnet werden.

Wir fügen hier noch eine Entwicklung an, welche im folgenden Paragraph gebraucht werden wird.

Wenn ein Ideal des Körpers als größter gemeinsamer Teiler von solchen Zahlen dargestellt werden kann, welche lediglich Zahlen der Unterkörper bezüglich sind, so sagen wir, das Ideal „liege“ im Körper bezüglich . Ist irgendein Ideal in , so liegt stets das Produkt im Körper . Wählen wir nämlich irgendeine durch teilbare Zahl und bestimmen dann eine ebenfalls durch teilbare Zahl derart, daß prim zu ist, so wird notwendig auch und daher auch prim zu und hieraus folgt , womit die Behauptung bewiesen ist. Ebenso wird gezeigt, daß stets in dem Körper liegt.

§ 10. Die Anzahl der ldealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers .

In diesem letzten Paragraph soll kurz der Weg gezeigt werden, welcher zu einem rein arithmetischen Beweise des in der Einleitung erwähnten Dirichletschen Satzes über die Anzahl der ldealklassen in führt.

Zu dem Zweck stellen wir zunächst folgende Überlegungen an. Sind , irgend zwei Idealklassen der beiden quadratischen Körper bezüglich und wählt man aus diesen beiden Klassen je ein Ideal , , so gehört jedes dieser beiden Ideale, als Ideal des biquadratischen Körpers aufgefaßt, einer Idealklasse in an; die beiden somit durch , bestimmten Idealklassen des biquadratischen Körpers mögen mit bezüglich und ihr Produkt mit bezeichnet werden. Es gilt dann zunächst der Satz:

Jede Klasse des Hauptgeschlechtes im biquadratischen Körper ist gleich einem Produkte , wo , Klassen der quadratischen Körper bezüglich sind.

Zum Beweise dieses Satzes benutzen wir die Tatsache, daß jedes Ideal des Hauptgeschlechtes dem Quadrate eines Ideals im biquadratischen Körper äquivalent ist. Es gilt andrerseits die Identität

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/65&oldid=- (Version vom 31.7.2018)