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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Diesen 3 Substitutionen entsprechen 3 in $K$ enthaltene quadratische Zahlkörper: alle Zahlen nämlich, welche bei Anwendung von $S$ ungeändert bleiben, bilden den durch $i$ bestimmten quadratischen Körper $k$ und alle bei Anwendung der Substitution $S'$ bezüglich $S''$ ungeändert bleibenden Zahlen des Körpers $K$ bilden je einen quadratischen Körper, nämlich den durch ${\sqrt {\partial }}$ bezüglich durch ${\sqrt {-\partial }}$ bestimmten quadratischen Zahlkörper; der erstere möge mit $k'$, der zweite mit $k''$ bezeichnet werden.

Wir fügen hier noch eine Entwicklung an, welche im folgenden Paragraph gebraucht werden wird.

Wenn ein Ideal des Körpers $K$ als größter gemeinsamer Teiler von solchen Zahlen dargestellt werden kann, welche lediglich Zahlen der Unterkörper $k'$ bezüglich $k''$ sind, so sagen wir, das Ideal „liege“ im Körper $k'$ bezüglich $k''$. Ist ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K$, so liegt stets das Produkt ${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}$ im Körper $k'$. Wählen wir nämlich irgendeine durch ${\mathfrak {J}}$ teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$ und bestimmen dann eine ebenfalls durch ${\mathfrak {J}}$ teilbare Zahl ${\mathsf {B}}$ derart, daß $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}$ prim zu $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}\right)$ ist, so wird notwendig auch $\textstyle S'\left({\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}\right)$ und daher auch $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}\right)$ prim zu $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}\right)$ und hieraus folgt ${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}=({\mathsf {A}}\cdot S'{\mathsf {A}},\,{\mathsf {B}}\cdot S'{\mathsf {B}})$, womit die Behauptung bewiesen ist. Ebenso wird gezeigt, daß ${\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$ stets in dem Körper $k''$ liegt.

§ 10. Die Anzahl der ldealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers $K$.

In diesem letzten Paragraph soll kurz der Weg gezeigt werden, welcher zu einem rein arithmetischen Beweise des in der Einleitung erwähnten Dirichletschen Satzes über die Anzahl der ldealklassen in $K$ führt.

Zu dem Zweck stellen wir zunächst folgende Überlegungen an. Sind $c'$, $c''$ irgend zwei Idealklassen der beiden quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ und wählt man aus diesen beiden Klassen je ein Ideal ${\mathfrak {j}}'$, ${\mathfrak {j}}''$, so gehört jedes dieser beiden Ideale, als Ideal des biquadratischen Körpers $K$ aufgefaßt, einer Idealklasse in $K$ an; die beiden somit durch $c'$, $c''$ bestimmten Idealklassen des biquadratischen Körpers $K$ mögen mit ${\overline {c'}}$ bezüglich ${\overline {c''}}$ und ihr Produkt mit ${\overline {c'c''}}$ bezeichnet werden. Es gilt dann zunächst der Satz:

Jede Klasse des Hauptgeschlechtes im biquadratischen Körper $K$ ist gleich einem Produkte ${\overline {c'c''}}$, wo $c'$, $c''$ Klassen der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ sind.

Zum Beweise dieses Satzes benutzen wir die Tatsache, daß jedes Ideal ${\mathfrak {H}}$ des Hauptgeschlechtes dem Quadrate eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ im biquadratischen Körper äquivalent ist. Es gilt andrerseits die Identität

${\mathfrak {J}}^{2}={\frac {({\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}})({\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}})}{S'{\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}}}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/65&oldid=- (Version vom 31.7.2018)