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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/64

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aufgehenden Primzahlen mit , …, und setzen . Wegen erhalten wir wiederum:

.

Endlich sei durch teilbar; wir setzen und erteilen die obige Bedeutung. Da wiederum von allen in zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so kann bei der Berechnung der Faktoren des Symbols die Zahl durch ersetzt werden; die oben gefundene Formel für den quadratischen Restcharakter von ergibt dann . Setzen wir ferner in der allgemeinen Reziprozitätsgleichung , und benutzen dann den soeben gefundenen Wert des Symbols , so erhalten wir . Andererseits hat das Symbol den gleichen Wert und hieraus ergibt sich wiederum, wenn wir die sämtlichen in enthaltenen Primzahlen mit , …, bezeichnen, die Gleichung

.

Es gilt daher in allen Fällen der Satz:

Ein vorgelegtes Charakterensystem ist dann und nur dann durch ein Geschlecht vertreten, wenn das Produkt aller Charaktere desselben ist.

§ 9. Der spezielle Dirichletsche Körper.

Wenn der durch bestimmte Dirichletsche Körper außer dem Körper noch einen anderen quadratischen Körper enthalten soll, so muß, wie man leicht erkennt, gleich einer reellen oder gleich einer rein imaginären Zahl sein. In diesem Falle bezeichnen wir den durch bestimmten Dirichletschen biquadratischen Körper als einen speziellen Dirichletschen Körper und setzen bezüglich , so daß stets eine reelle positive Zahl bedeutet, welche durch kein Quadrat einer reellen Zahl teilbar ist. Der spezielle Dirichletsche Körper ist ein Galoisscher Körper. Eine beliebige Zahl desselben kann in die Gestalt:

gebracht werden, wo , , , rationale Zahlen sind und wir erhalten die 3 zu konjugierten Zahlen durch Anwendung der 3 Substitutionen:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/64&oldid=- (Version vom 31.7.2018)